Expresse a integral como uma integral equivalente com a ordem de integração invertida.
integral0^4 integral2 y^8 f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla
integral0^4integral2y^8f(x,y),dx,dy
O conteúdo aqui é a descrição da região de integração no plano xy e a mudança da ordem de integração.

Passo 2

Vamos descrever a região
R=(x,y)mid 0<= y<= 4,;2y<= x<= 8
Isto significa que, para cada y entre 0 e 4, x varia de 2y até 8.

Passo 3

Para inverter a ordem, determinamos o intervalo de x. Na região R, o menor x ocorre em y=0, sendo x=2cdot0=0, e o maior x é 8. Logo
0<= x<= 8

Passo 4

Fixado xin[0,8], a condição 2y<= x vira y<= tfracx2 e temos sempre y>=0. Além disso, a restrição y<=4 é automática pois tfracx2<=4 para x<=8. Então
0<= y<= x2
A integral com a ordem invertida fica
integral0^8integral0^tfracx2f(x,y),dy,dx

Resposta

integral0^8integral0^x/2f(x,y),dy,dx

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