Seja S=x^2-2 x+1, x-1, x^2+1.
S é LI ou LD?

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S = ,p1(x)=x^2-2x+1,;p2(x)=x-1,;p3(x)=x^2+1
no espaço dos polinômios de grau <=2. Para decidir se S é linearmente independente (LI) ou não, vamos testar a combinação linear
alpha,p1(x)+beta,p2(x)+gamma,p3(x)=0(polinômio nulo) ô
e ver se só a solução trivial alpha=beta=gamma=0 existe.

Passo 2

Escrevendo a combinação e agrupando termos conforme as potências de x:
alpha(x^2-2x+1)+beta(x-1)+gamma(x^2+1)=0
Longrightarrow (alpha+gamma),x^2+(-2alpha+beta),x+(alpha-beta+gamma)=0
Para que isso seja o polinômio nulo, os coeficientes devem satisfazer o sistema
alpha+gamma=0, -2alpha+beta=0, alpha-beta+gamma=0

Passo 3

Resolvendo o sistema:
– Da segunda equação vem beta=2alpha.
– Da primeira vem gamma=-alpha.
– Substituindo em alpha-beta+gamma=0:
alpha - (2alpha) + (-alpha)= -2alpha = 0
logo alpha=0. Então beta=0 e gamma=0.
Só existe a solução trivial, o que mostra que p1,p2,p3 são linearmente independentes.

Resposta

S é linearmente independente (LI).

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