Calcule a integral, invertendo o domínio de integração
integral0^4 integralraizy^2 sen(pi x^38) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que pede para invertermos o domínio de integração. O conteúdo aqui é cálculo integral, mais especificamente integrais duplas e a troca de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração atuais, desenhar a região de integração e então definir novos limites com a ordem invertida.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de integração originais:
0 <= y <= 4 e raizy <= x <= 2
Isso significa que para cada y entre 0 e 4, x varia de raizy até 2.

Passo 3

Vamos desenhar a região de integração no plano xy . A curva x = raizy é equivalente a y = x^2 . Então, a região é limitada por y = 0 , y = 4 , x = raizy e x = 2 .

Passo 4

Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar y em termos de x . Observando a região:
  • x varia de 0 a 2.
  • Para cada x , y varia de y = 0 até y = x^2 .

Passo 5

Com a ordem invertida, a integral fica:
integral0^2 integral0^x^2 sen(pi x^38) dy , dx
Agora, vamos integrar primeiro em relação a y .

Passo 6

A função sen(pi x^38) não depende de y , então a integral interna em y é simples:
integral0^x^2 sen(pi x^38) dy = sen(pi x^38) cdot y |0^x^2 = sen(pi x^38) cdot x^2

Passo 7

Agora, a integral reduzida fica:
integral0^2 x^2 cdot sen(pi x^38) dx
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição.

Passo 8

Vamos definir u = pi x^38 . Então, a derivada de u em relação a x é:
dudx = 3pi x^28 Rightarrow dx = 83pi x^2 du
Substituindo na integral:
integral x^2 cdot sen(u) cdot 83pi x^2 du = 83pi integral sen(u) du

Passo 9

Integrando:
83pi integral sen(u) du = 83pi cdot (-cos(u)) + C
Voltando para x :
-83pi cos(pi x^38) |0^2

Passo 10

Aplicando os limites de integração:
Para x = 2 :
-83pi cos(pi (2)^38) = -83pi cos(pi) = -83pi (-1) = 83pi
Para x = 0 :
-83pi cos(0) = -83pi (1) = -83pi
Subtraindo:
83pi - (-83pi) = 163pi

Resposta

A integral vale dfrac163pi.

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