Calcule a integral, invertendo o domínio de integração
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que pede para invertermos o domínio de integração. O conteúdo aqui é cálculo integral, mais especificamente integrais duplas e a troca de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração atuais, desenhar a região de integração e então definir novos limites com a ordem invertida.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites de integração originais:
Isso significa que para cada entre 0 e 4, varia de até 2.
Passo 3
Vamos desenhar a região de integração no plano . A curva é equivalente a . Então, a região é limitada por , , e .
Passo 4
Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . Observando a região:
varia de 0 a 2.
Para cada , varia de até .
Passo 5
Com a ordem invertida, a integral fica:
Agora, vamos integrar primeiro em relação a .
Passo 6
A função não depende de , então a integral interna em é simples:
Passo 7
Agora, a integral reduzida fica:
integral0^2 x^2 cdot sen(pi x^38) dx
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição.
Passo 8
Vamos definir u = pi x^38 . Então, a derivada de u em relação a x é:
dudx = 3pi x^28 Rightarrow dx = 83pi x^2 du
Substituindo na integral:
integral x^2 cdot sen(u) cdot 83pi x^2 du = 83pi integral sen(u) du