Calcule a integral iterada
03. \int_{1}^{2} \int_{-1}^{2} \int_{0}^{3} x y z^{2} d x d y d z \quad (Valor: 1,5 pontos)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla iterada
\int_{z=1}^{2}\int_{y=-1}^{2}\int_{x=0}^{3}x\,y\,z^{2}\,dx\,dy\,dz.
Este é um problema de cálculo de integrais múltiplas em que a função integranda é f(x,y,z)=x\,y\,z^{2} e os limites de integração são constantes. Vamos integrar passo a passo de dentro para fora.

Passo 2

Primeiro, integramos em relação a x mantendo y e z como constantes:
\int_{0}^{3}x\,y\,z^{2}\,dx = y\,z^{2}\int_{0}^{3}x\,dx = y\,z^{2}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{3} = y\,z^{2}\cdot\frac{9}{2} = \frac{9}{2}\,y\,z^{2}.

Passo 3

Em seguida, integramos o resultado em relação a y:
\int_{-1}^{2}\frac{9}{2}\,y\,z^{2}\,dy =\frac{9}{2}\,z^{2}\int_{-1}^{2}y\,dy =\frac{9}{2}\,z^{2}\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{-1}^{2} =\frac{9}{2}\,z^{2}\cdot\frac{4-1}{2} =\frac{9}{2}\,z^{2}\cdot\frac{3}{2} =\frac{27}{4}\,z^{2}.

Passo 4

Por fim, integramos em relação a z:
\int_{1}^{2}\frac{27}{4}\,z^{2}\,dz =\frac{27}{4}\int_{1}^{2}z^{2}\,dz =\frac{27}{4}\left[\frac{z^{3}}{3}\right]_{1}^{2} =\frac{27}{4}\cdot\frac{2^{3}-1^{3}}{3} =\frac{27}{4}\cdot\frac{8-1}{3} =\frac{27}{4}\cdot\frac{7}{3} =\frac{189}{12} =\frac{63}{4}.

Resposta

\frac{63}{4}.

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