Certifique-se de que entendeu bem (e sabe demonstrar, quando for o caso)
a) As propriedades que caracterizam uma força conservativa no caso geral de 2 ou 3 dimensões espaciais;
b) como se determina a energia potencial associada a uma certa força conservativa;
c) o que é uma força central e como calculamos a energia potencial correspondente;
a) As propriedades que caracterizam uma força conservativa no caso geral de 2 ou 3 dimensões espaciais;
b) como se determina a energia potencial associada a uma certa força conservativa;
c) o que é uma força central e como calculamos a energia potencial correspondente;
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
– (a) identificar as propriedades que caracterizam uma força conservativa em 2D ou 3D;
– (b) mostrar como se obtém a energia potencial associada a uma força conservativa;
– (c) definir o que é uma força central e como calcular sua energia potencial.
Para isso vamos usar conceitos de cálculo vetorial (integral de linha, rotacional) e definição de potencial escalar.
– (a) identificar as propriedades que caracterizam uma força conservativa em 2D ou 3D;
– (b) mostrar como se obtém a energia potencial associada a uma força conservativa;
– (c) definir o que é uma força central e como calcular sua energia potencial.
Para isso vamos usar conceitos de cálculo vetorial (integral de linha, rotacional) e definição de potencial escalar.
Passo 2
Uma força
é dita conservativa se o trabalho realizado entre dois pontos independe do caminho escolhido. Em termos formais isso equivale a dizer que, em uma região simplesmente conectada, valem estas propriedades equivalentes:
- Para qualquer curva fechada
,
- Para qualquer par de pontos
e , o integral de linha
é o mesmo para todas as curvas que liguem
a
.
3. O rotacional de é nulo em toda a região:
3. O rotacional de
Demonstração (esboço): em 3D, se
e a região é simplesmente conectada, pelo lema de Poincaré existe um potencial escalar
tal que
. Daí a integral de linha entre dois pontos depende só do valor de
nesses pontos.
Passo 3
Para determinar a energia potencial
de uma força conservativa usamos a relação
Isolando
, escolhemos um ponto de referência
onde
é arbitrário (normalmente zero) e definimos
Como a força é conservativa, essa integral é independente do caminho, só depende dos pontos inicial e final. Em prática, escolhe-se um caminho simples (reta) e executa-se a integral de linha.
Passo 4
Uma força central é um caso particular de força conservativa que aponta radialmente e cujo módulo depende apenas da distância
. Escrevemos
onde
. A energia potencial correspondente só depende de
e obtém-se integrando
em relação a
:
Aqui escolhe-se
(às vezes
se a integral convergir) e ajusta-se
.
Resposta
(a) Em 2D ou 3D,
é conservativa se
para qualquer curva fechada (ou, equivalentemente,
em região simplesmente conectada).
(b) A energia potencial satisfaz
e calcula-se por
(b) A energia potencial
(c) Força central é
; a energia potencial é função radial