Certifique-se de que entendeu bem (e sabe demonstrar, quando for o caso)
a) As propriedades que caracterizam uma força conservativa no caso geral de 2 ou 3 dimensões espaciais;
b) como se determina a energia potencial associada a uma certa força conservativa;
c) o que é uma força central e como calculamos a energia potencial correspondente;

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
– (a) identificar as propriedades que caracterizam uma força conservativa em 2D ou 3D;
– (b) mostrar como se obtém a energia potencial associada a uma força conservativa;
– (c) definir o que é uma força central e como calcular sua energia potencial.
Para isso vamos usar conceitos de cálculo vetorial (integral de linha, rotacional) e definição de potencial escalar.

Passo 2

Uma força \mathbf{F}(\mathbf{r}) é dita conservativa se o trabalho realizado entre dois pontos independe do caminho escolhido. Em termos formais isso equivale a dizer que, em uma região simplesmente conectada, valem estas propriedades equivalentes:
  1. Para qualquer curva fechada C,
\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 0.
  1. Para qualquer par de pontos \mathbf{r}_A e \mathbf{r}_B, o integral de linha
\int_{\mathbf{r}_A}^{\mathbf{r}_B} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
é o mesmo para todas as curvas que liguem \mathbf{r}_A a \mathbf{r}_B.
3. O rotacional de \mathbf{F} é nulo em toda a região:
\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}.
Demonstração (esboço): em 3D, se \nabla\times\mathbf{F}=0 e a região é simplesmente conectada, pelo lema de Poincaré existe um potencial escalar U tal que \mathbf{F}=-\nabla U. Daí a integral de linha entre dois pontos depende só do valor de U nesses pontos.

Passo 3

Para determinar a energia potencial U(\mathbf{r}) de uma força conservativa usamos a relação
\mathbf{F}(\mathbf{r}) = -\,\nabla U(\mathbf{r}).
Isolando U, escolhemos um ponto de referência \mathbf{r}_0 onde U(\mathbf{r}_0) é arbitrário (normalmente zero) e definimos
U(\mathbf{r}) = -\int_{\mathbf{r}_0}^{\mathbf{r}} \mathbf{F}(\mathbf{r}')\!\cdot d\mathbf{r}' \;+\; U(\mathbf{r}_0).
Como a força é conservativa, essa integral é independente do caminho, só depende dos pontos inicial e final. Em prática, escolhe-se um caminho simples (reta) e executa-se a integral de linha.

Passo 4

Uma força central é um caso particular de força conservativa que aponta radialmente e cujo módulo depende apenas da distância r=\|\mathbf{r}\|. Escrevemos
\mathbf{F}(\mathbf{r}) = F(r)\,\hat{\mathbf{r}},
onde \hat{\mathbf{r}} = \mathbf{r}/r. A energia potencial correspondente só depende de r e obtém-se integrando F(r) em relação a r:
U(r) = -\int_{r_0}^{r} F(r')\,dr' \;+\; U(r_0).
Aqui escolhe-se r_0 (às vezes r_0=\infty se a integral convergir) e ajusta-se U(r_0).

Resposta

(a) Em 2D ou 3D, \mathbf{F} é conservativa se \oint_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0 para qualquer curva fechada (ou, equivalentemente, \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} em região simplesmente conectada).
(b) A energia potencial U(\mathbf{r}) satisfaz \mathbf{F}=-\nabla U e calcula-se por
U(\mathbf{r})=-\int_{\mathbf{r}_0}^{\mathbf{r}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} + U(\mathbf{r}_0).
(c) Força central é \mathbf{F}=F(r)\,\hat{\mathbf{r}}; a energia potencial é função radial
U(r)=-\int_{r_0}^{r}F(r')\,dr' + U(r_0).

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