Calcule a integral iterada.
integral0^1 integral0^x e^x^2 d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada integral0^1!integral0^x e^x^2,dy,dx. O conteúdo envolve integrais iteradas e integração de funções do tipo e^x^2, mas note que a variável interna é y, então vamos usar a propriedade de integrais em que a função não depende de y.

Passo 2

Como e^x^2 não depende de y, a integral interna em relação a y é simplesmente
integral0^x e^x^2,dy = e^x^2 l[yr]0^x = x,e^x^2
Agora a integral iterada fica
integral0^1 x,e^x^2,dx

Passo 3

Para resolver integral0^1 x,e^x^2,dx, usamos a substituição u = x^2, de modo que du = 2x,dx ou x,dx = tfrac12,du. Quando x=0, temos u=0; quando x=1, temos u=1.
Substituindo, obtemos
integral0^1 x,e^x^2,dx = integralu=0^1 e^u l(tfrac12,dur) = tfrac12 integral0^1 e^u,du

Passo 4

Por fim, integramos e^u de 0 a 1:
tfrac12 l[e^ur]0^1 = tfrac12,(e^1 - e^0) = tfrace-12

Resposta

e-12

Exercícios relacionados