Calcule a integral iterada
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a integral iterada
. Isso está relacionado ao estudo de integrais múltiplas, mais especificamente, integrais duplas. Vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e usar substituição para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos
variando de
a
e, para cada
,
varia de
até
. Isso forma uma área triangular no plano
.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos trocar a ordem das integrais. Em vez de integrar primeiro em
de
a
e depois em
de
a
, vamos integrar primeiro em
de
a
e depois em
de
a
. A integral fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a
. Como
não depende de
, a integral de
em relação a
de
a
é simplesmente
.
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral em relação a
. Para isso, usamos a substituição:
- Seja
- Então,
Isso simplifica a integral para:
Passo 6
A integral de
em relação a
é
. Então, avaliamos de
a
:
Resposta
A integral iterada vale 0.