(2,0) Calcule a integral iterada integral0^raizpi integralx^raizpi 2 cos (y^2) d y d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a integral iterada integral0^raizpi integralx^raizpi 2 cos (y^2) , dy , dx. Isso está relacionado ao estudo de integrais múltiplas, mais especificamente, integrais duplas. Vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e usar substituição para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos x variando de 0 a raizpi e, para cada x, y varia de x até raizpi. Isso forma uma área triangular no plano xy.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos trocar a ordem das integrais. Em vez de integrar primeiro em y de x a raizpi e depois em x de 0 a raizpi, vamos integrar primeiro em x de 0 a y e depois em y de 0 a raizpi. A integral fica:
integral0^raizpi integral0^y 2 cos (y^2) , dx , dy

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a x. Como 2 cos(y^2) não depende de x, a integral de 2 cos(y^2) em relação a x de 0 a y é simplesmente 2 cos(y^2) times y.
Então, a integral fica:
integral0^raizpi 2 y cos (y^2) , dy

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral em relação a y. Para isso, usamos a substituição:
  • Seja u = y^2
  • Então, du = 2y , dy
Isso simplifica a integral para:
integral0^pi cos(u) , du

Passo 6

A integral de cos(u) em relação a u é sin(u). Então, avaliamos de 0 a pi:
sin(pi) - sin(0) = 0 - 0 = 0

Resposta

A integral iterada vale 0.

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