Use uma integral tripla para encontrar o volume do sólido limitado pelo cilíndro
e os planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
. Esse tipo de problema envolve integrais triplas, que são usadas em cálculo multivariável para calcular volumes de sólidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as superfícies que limitam o sólido. O cilindro
é uma superfície parabólica que se estende ao longo do eixo z. Os planos
e
são, respectivamente, o plano xy e um plano inclinado que corta o eixo z.
Passo 3
Para encontrar o volume, precisamos determinar os limites de integração para x, y e z. Vamos começar projetando o sólido no plano xy para achar os limites de x e y.
Passo 4
No plano xy, o cilindro
define a curva limite. Além disso, como o plano
e
, quando z = 0, temos
. Então, y vai de
até 4.
Passo 5
Agora, vamos ver os limites para x. Como
e y vai até 4, temos que
. Resolvendo para x, encontramos que
.
Passo 6
Por último, para z, sabemos que ele vai de 0 até
, já que
. Então, z varia de 0 a
.
Passo 7
Agora que temos todos os limites, podemos montar a integral tripla para calcular o volume. A integral será:
Passo 8
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a z:
Substituindo na integral:
Passo 9
Agora, integramos em relação a y:
Calculando:
Passo 10
Agora, integramos em relação a x:
Como a função é par, podemos simplificar multiplicando por 2 e integrando de 0 a 2:
Calculando em x = 2:
Passo 11
Vamos simplificar os termos:
Então:
Multiplicando por 2:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.