Use uma integral tripla para encontrar o volume do sólido limitado pelo cilíndro y=x^2 e os planos y+z=4 e z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é limitado pelo cilindro y = x^2 e pelos planos y + z = 4 e z = 0 . Esse tipo de problema envolve integrais triplas, que são usadas em cálculo multivariável para calcular volumes de sólidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as superfícies que limitam o sólido. O cilindro y = x^2 é uma superfície parabólica que se estende ao longo do eixo z. Os planos z = 0 e y + z = 4 são, respectivamente, o plano xy e um plano inclinado que corta o eixo z.

Passo 3

Para encontrar o volume, precisamos determinar os limites de integração para x, y e z. Vamos começar projetando o sólido no plano xy para achar os limites de x e y.

Passo 4

No plano xy, o cilindro y = x^2 define a curva limite. Além disso, como o plano y + z = 4 e z = 0 , quando z = 0, temos y = 4 . Então, y vai de x^2 até 4.

Passo 5

Agora, vamos ver os limites para x. Como y = x^2 e y vai até 4, temos que x^2 <= 4 . Resolvendo para x, encontramos que -2 <= x <= 2 .

Passo 6

Por último, para z, sabemos que ele vai de 0 até 4 - y , já que y + z = 4 . Então, z varia de 0 a 4 - y .

Passo 7

Agora que temos todos os limites, podemos montar a integral tripla para calcular o volume. A integral será:
V = integral-2^2 integralx^2^4 integral0^4 - y dz , dy , dx

Passo 8

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a z:
integral0^4 - y dz = (4 - y) - 0 = 4 - y
Substituindo na integral:
V = integral-2^2 integralx^2^4 (4 - y) , dy , dx

Passo 9

Agora, integramos em relação a y:
integralx^2^4 (4 - y) , dy = [4y - y^22]x^2^4 = (4 cdot 4 - 4^22) - (4x^2 - (x^2)^22)
Calculando:
= (16 - 8) - (4x^2 - x^42) = 8 - 4x^2 + x^42

Passo 10

Agora, integramos em relação a x:
V = integral-2^2 (8 - 4x^2 + x^42) dx
Como a função é par, podemos simplificar multiplicando por 2 e integrando de 0 a 2:
V = 2 integral0^2 (8 - 4x^2 + x^42) dx = 2 [8x - 4x^33 + x^510]0^2
Calculando em x = 2:
= 2 (8 cdot 2 - 4 cdot 83 + 3210) = 2 (16 - 323 + 165)

Passo 11

Vamos simplificar os termos:
16 = 24015, 323 = 16015, 165 = 4815
Então:
16 - 323 + 165 = 240 - 160 + 4815 = 12815
Multiplicando por 2:
V = 2 cdot 12815 = 25615

Resposta

O volume do sólido é 25615 unidades cúbicas.

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