(2,0) Utilize a teoria e os conceitos de cálculo diferencial para determinar o ponto do eixo x que está mais próximo da reta r:(x, y, z)=(1,2,3)+beta(-1,1,0).
Dica: É conveniente considerar o quadrado da distância entre um ponto do eixo x e um de r.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a teoria de cálculo diferencial para achar qual ponto no eixo x está mais próximo da reta r dada por (x, y, z) = (1, 2, 3) + beta(-1, 1, 0). Para isso, vamos calcular a distância entre um ponto qualquer do eixo x e um ponto na reta r, e depois minimizar essa distância usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é um ponto qualquer no eixo x. No eixo x, a coordenada y e z são sempre zero. Então, qualquer ponto no eixo x pode ser escrito como (a, 0, 0), onde a é um número real que representa a posição no eixo.

Passo 3

Agora, vamos considerar um ponto na reta r. A equação da reta é (x, y, z) = (1, 2, 3) + beta(-1, 1, 0), onde beta é um parâmetro. Isso significa que um ponto qualquer na reta pode ser escrito como:
(x, y, z) = (1 - beta, 2 + beta, 3)

Passo 4

A próxima coisa é achar a distância entre o ponto (a, 0, 0) no eixo x e o ponto (1 - beta, 2 + beta, 3) na reta r. A fórmula da distância entre dois pontos no espaço é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2
Mas para facilitar os cálculos, vamos trabalhar com o quadrado da distância:
d^2 = (1 - beta - a)^2 + (2 + beta)^2 + (3)^2

Passo 5

Agora, temos uma função que depende de duas variáveis: d^2 em função de a e beta. Porém, queremos achar a menor distância em relação a a. Para isso, vamos minimizar d^2 com relação a beta, considerando a fixo no eixo x.

Passo 6

Para minimizar d^2, vamos derivar em relação a beta e igualar a zero. A derivada de d^2 em relação a beta é:
d(d^2)dbeta = 2(1 - beta - a)(-1) + 2(2 + beta)(1) + 0
Simplificando:
-2(1 - beta - a) + 2(2 + beta) = 0

Passo 7

Vamos resolver a equação:
-2(1 - beta - a) + 2(2 + beta) = 0
Distribuindo:
-2 + 2beta + 2a + 4 + 2beta = 0
Juntando termos semelhantes:
4beta + 2a + 2 = 0
Isolando beta:
4beta = -2a - 2 Rightarrow beta = -a2 - 12

Passo 8

Agora que temos beta em função de a, vamos substituir de volta na expressão da distância para encontrar a relação entre a e a minimização da distância.
Substituindo beta = -a2 - 12 na expressão de d^2:
d^2 = (1 - (-a2 - 12) - a)^2 + (2 + (-a2 - 12))^2 + 9

Passo 9

Simplificando cada termo:
Primeiro termo:
1 + a2 + 12 - a = 32 - a2
Segundo termo:
2 - a2 - 12 = 32 - a2
Então:
d^2 = (32 - a2)^2 + (32 - a2)^2 + 9
d^2 = 2(32 - a2)^2 + 9

Passo 10

Vamos derivar d^2 em relação a a para encontrar o mínimo:
d(d^2)da = 2 cdot 2(32 - a2)(-12) = -2(32 - a2)
Igualando a zero:
-2(32 - a2) = 0 Rightarrow 32 - a2 = 0 Rightarrow a = 3

Passo 11

Então, o ponto no eixo x que está mais próximo da reta r é (3, 0, 0).

Resposta

O ponto do eixo x mais próximo da reta r é (3, 0, 0).

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