Utilize a teoria e os conceitos de cálculo diferencial para determinar o ponto do eixo
que está mais próximo da reta
.
Dica: É conveniente considerar o quadrado da distância entre um ponto do eixo
e um de
.
Dica: É conveniente considerar o quadrado da distância entre um ponto do eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a teoria de cálculo diferencial para achar qual ponto no eixo
está mais próximo da reta
dada por
. Para isso, vamos calcular a distância entre um ponto qualquer do eixo
e um ponto na reta
, e depois minimizar essa distância usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é um ponto qualquer no eixo
. No eixo
, a coordenada
e
são sempre zero. Então, qualquer ponto no eixo
pode ser escrito como
, onde
é um número real que representa a posição no eixo.
Passo 3
Agora, vamos considerar um ponto na reta
. A equação da reta é
, onde
é um parâmetro. Isso significa que um ponto qualquer na reta pode ser escrito como:
Passo 4
A próxima coisa é achar a distância entre o ponto
no eixo
e o ponto
na reta
. A fórmula da distância entre dois pontos no espaço é:
Mas para facilitar os cálculos, vamos trabalhar com o quadrado da distância:
Passo 5
Agora, temos uma função que depende de duas variáveis:
em função de
e
. Porém, queremos achar a menor distância em relação a
. Para isso, vamos minimizar
com relação a
, considerando
fixo no eixo
.
Passo 6
Para minimizar
, vamos derivar em relação a
e igualar a zero. A derivada de
em relação a
é:
Simplificando:
Passo 7
Vamos resolver a equação:
Distribuindo:
Juntando termos semelhantes:
Isolando
:
Passo 8
Agora que temos
em função de
, vamos substituir de volta na expressão da distância para encontrar a relação entre
e a minimização da distância.
Substituindo
na expressão de
:
Passo 9
Simplificando cada termo:
Primeiro termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Então:
Passo 10
Vamos derivar
em relação a
para encontrar o mínimo:
Igualando a zero:
Passo 11
Então, o ponto no eixo
que está mais próximo da reta
é
.
Resposta
O ponto do eixo
mais próximo da reta
é
.