Calcule a integral iterada.
integralraizpi^raiz2 pi integral0^x^3 sen yx d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integralx=raizpi^raiz2pi;integraly=0^x^3sen!gl(yxgr),dy,dx
O conteúdo principal envolve mudança de variável na integral interna e depois cálculo de integrais diretas.

Passo 2

Vamos calcular a integral interna
I(x)=integral0^x^3sen!l(tfracyxr),dy
Fazemos a substituição ;t=tfracyx, logo y=xt e dy = x,dt. Quando y=0 tem t=0, e quando y=x^3 tem t=x^2. Assim
I(x) =integralt=0^x^2sen(t),l(x,dtr) =xintegral0^x^2sen(t),dt =xl[-cos(t)r]0^x^2 =xl(1-cos(x^2)r)

Passo 3

Substituindo I(x) na integral externa, obtemos
integralraizpi^raiz2pixl(1-cos(x^2)r),dx =integralraizpi^raiz2pix,dx ;-;integralraizpi^raiz2pixcos(x^2),dx

Passo 4

Calculemos separadamente:
  1. integralraizpi^raiz2pix,dx =l[tfracx^22r]raizpi^raiz2pi =tfrac2pi-pi2 =tfracpi2
  2. Para integral xcos(x^2),dx, usamos u=x^2, du=2x,dx, ou x,dx=tfracdu2. Então
integralraizpi^raiz2pixcos(x^2),dx =tfrac12integralu=pi^2picos(u),du =tfrac12l[sen(u)r]pi^2pi =tfrac12l(0-0r) =0

Passo 5

Somando as partes, o valor da integral é
tfracpi2-0 =tfracpi2

Resposta

tfracpi2

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