Encontre os polinômios de Taylor de ordens 0,1,2 e 3 gerados por f em a.
f(x)=cos x, a=pi / 4

Passo 1

O enunciado pede os polinômios de Taylor de ordens 0,1,2,3 da função f(x)=cos x centrados em a=pi/4. Para isso vamos usar a definição de polinômio de Taylor de ordem n:
Pn(x) = sumk=0^n f^(k)(a)k!(x-a)^k

Passo 2

Calculamos as derivadas de cos x e avaliamos em a=pi/4:
f(x)=cos x, f'(x)=-sin x, f''(x)=-cos x, f'''(x)=sin x
Em x=pi/4 temos
f(a)=raiz22, f'(a)=-raiz22, f''(a)=-raiz22, f'''(a)=raiz22

Passo 3

O polinômio de ordem 0 é apenas o valor de f em a:
P0(x)=f(a)=raiz22

Passo 4

O polinômio de ordem 1 acrescenta o termo linear:
P1(x)=P0(x)+f'(a)(x-a) =raiz22 -raiz22(x-tfracpi4)

Passo 5

O polinômio de ordem 2 inclui também o termo quadrático:
P2(x)=P1(x)+f''(a)2!(x-a)^2 =raiz22 -raiz22(x-tfracpi4) -raiz24(x-tfracpi4)^2

Passo 6

O polinômio de ordem 3 adiciona o termo cúbico:
P3(x)=P2(x)+f'''(a)3!(x-a)^3 =raiz22 -raiz22(x-tfracpi4) -raiz24(x-tfracpi4)^2 +raiz212(x-tfracpi4)^3

Resposta

P0(x)=raiz22,
P1(x)=raiz22 -raiz22l(x-tfracpi4r),
P2(x)=raiz22 -raiz22l(x-tfracpi4r) -raiz24l(x-tfracpi4r)^2,
P3(x)=raiz22 -raiz22l(x-tfracpi4r) -raiz24l(x-tfracpi4r)^2 +raiz212l(x-tfracpi4r)^3

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