Calcule a integral iterada.
integral0^2 pi integral0^pi / 4 integral0^a sec phi rho^2 sen phi d rho d phi d theta (a>0)

Passo 1

O enunciado nos dá a integral iterada
integral0^2piintegral0^pi/4integral0^asecphirho^2sinphi drho,dphi,dtheta
em coordenadas esféricas. Vamos integrar em rho primeiro, depois em phi e por fim em theta.

Passo 2

Calcular a integral interna em rho:
integral0^asecphirho^2,drho =[rho^33]0^asecphi =(asecphi)^33 =a^3sec^3phi3

Passo 3

Substituindo no integral total e integrando em theta:
I =integral0^2pidtheta integral0^pi/4a^3sec^3phi3sinphi,dphi =2pia^33integral0^pi/4sinphicos^3phi,dphi
Fazendo a troca de variável ;u=cosphi; (logo ,du=-sinphi,dphi), quando phi=0Rightarrow u=1 e quando phi=pi/4Rightarrow u=1/raiz2. Assim
integral0^pi/4sinphicos^3phi,dphi =integralu=1^u=1/raiz2-1u^3,du =integral1/raiz2^1u^-3,du

Passo 4

Calcular a integral em u:
integral1/raiz2^1u^-3,du =[u^-2-2]1/raiz2^1 =12
Logo
I =2pia^33cdot12 =pi a^33

Resposta

pi a^33

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