Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a série
é convergente ou divergente. Isso envolve o estudo de séries infinitas, especificamente usando testes de convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar séries que têm termos com potências, especialmente séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Olha só:
Simplificando as frações:
Então, a série original pode ser reescrita como:
Passo 3
Agora, percebemos que a série é a soma de duas séries geométricas. Uma série geométrica tem a forma
, onde
é o primeiro termo e
é a razão comum.
No nosso caso:
- A primeira série é
com razão . - A segunda série é
com razão .
Passo 4
Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão
for menor que 1, ou seja,
. Vamos verificar isso para as duas séries:
- Para
, temos . Logo, a primeira série converge. - Para
, temos . Logo, a segunda série também converge.
Passo 5
Como ambas as séries que compõem a nossa série original são convergentes, a soma delas também será convergente. Isso porque a soma de duas séries convergentes também converge.
Resposta
A série
é convergente.