Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Justifique sua resposta.
sumn=1^infty 3^n+5^n15^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a série sumn=1^infty 3^n+5^n15^n é convergente ou divergente. Isso envolve o estudo de séries infinitas, especificamente usando testes de convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar séries que têm termos com potências, especialmente séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Olha só:
3^n + 5^n15^n = 3^n15^n + 5^n15^n = (315)^n + (515)^n
Simplificando as frações:
(315)^n = (15)^n e (515)^n = (13)^n
Então, a série original pode ser reescrita como:
sumn=1^infty (15)^n + (13)^n

Passo 3

Agora, percebemos que a série é a soma de duas séries geométricas. Uma série geométrica tem a forma sumn=1^infty ar^n, onde a é o primeiro termo e r é a razão comum.
No nosso caso:
  • A primeira série é sumn=1^infty (15)^n com razão r1 = 15.
  • A segunda série é sumn=1^infty (13)^n com razão r2 = 13.

Passo 4

Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão |r| for menor que 1, ou seja, |r| < 1. Vamos verificar isso para as duas séries:
  • Para r1 = 15, temos |15| = 15 < 1. Logo, a primeira série converge.
  • Para r2 = 13, temos |13| = 13 < 1. Logo, a segunda série também converge.

Passo 5

Como ambas as séries que compõem a nossa série original são convergentes, a soma delas também será convergente. Isso porque a soma de duas séries convergentes também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 3^n+5^n15^n é convergente.

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