Calcule a integral iterada:
integral0^1 integral0^1(1-x^2+y^22) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^1integral0^1l(1-x^2+y^22r),dx,dy
O conteúdo é integração dupla em um retângulo, e vamos usar a linearidade da integral e o teorema de Fubini para reduzir tudo a integrais em uma variável.

Passo 2

Pela linearidade da integral, temos
integral0^1integral0^1l(1-x^2+y^22r),dx,dy = integral0^1integral0^11,dx,dy - 12 integral0^1integral0^1(x^2+y^2),dx,dy

Passo 3

A parte constante é
integral0^1integral0^11,dx,dy = 1

Passo 4

Usando Fubini, primeiro calculamos
integral0^1integral0^1x^2,dx,dy = integral0^1x^2,dxintegral0^1dy = 13cdot 1 = 13,
de forma análoga
integral0^1integral0^1y^2,dx,dy = 1cdot 13 = 13
Logo,
integral0^1integral0^1(x^2+y^2),dx,dy = 13+13 = 23
e então
12 integral0^1integral0^1(x^2+y^2),dx,dy = 12cdot 23 = 13

Passo 5

Substituindo essas parcelas na expressão do passo 2, obtemos
1 - 13 = 23

Resposta

23

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