Calcule a integral iterada:
integral1^4 integral0^4(x2+raizy) d x d y

Passo 1

Vamos resolver a integral iterada integral1^4 integral0^4(x2+raizy) , dx , dy.
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais duplas. Para resolver isso, vamos integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y. Precisaremos usar as regras básicas de integração para funções polinomiais e radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função x2 + raizy em relação a x, mantendo y constante.
integral0^4 (x2 + raizy) , dx

Passo 3

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. integral x2 , dx = 12 cdot x^22 = x^24
  2. integral raizy , dx = raizy cdot x (já que raizy é constante em relação a x)

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 4:
[ x^24 + raizy cdot x ]0^4 = ( 4^24 + raizy cdot 4 ) - ( 0^24 + raizy cdot 0 )
Simplificando:
164 + 4raizy = 4 + 4raizy

Passo 5

Agora, temos a integral em relação a y:
integral1^4 (4 + 4raizy) , dy
Podemos fatorar o 4:
4 integral1^4 (1 + raizy) , dy

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. integral 1 , dy = y
  2. integral raizy , dy = integral y^1/2 , dy = 23 y^3/2

Passo 7

Aplicando os limites de integração de 1 a 4:
4 [ y + 23 y^3/2 ]1^4 = 4 ( (4 + 23 cdot 4^3/2) - (1 + 23 cdot 1^3/2) )
Calculando 4^3/2 = 8 e 1^3/2 = 1:
4 ( (4 + 23 cdot 8) - (1 + 23 cdot 1) ) = 4 ( (4 + 163) - (1 + 23) )

Passo 8

Simplificando as frações:
4 ( 123 + 163 - 33 - 23 ) = 4 ( 283 - 53 ) = 4 ( 233 ) = 923

Resposta

A integral iterada vale 923.

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