Usando as regras bäsicas e as förmulas da integração, encontre as seguintes integrais:
integral d x(a+b)-(a-b) x^2,(0<b<a)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral dx(a+b)-(a-b)x^2,
sabendo que 0<b<a. O conteúdo aqui é reconhecer uma forma padrão de integral do tipo
integral du1 - u^2 ou integral du1 + u^2,
e usar as fórmulas de arctanh ou arctan. No nosso caso, o sinal “ -” no quadrado indica que vamos obter uma função arctanh.

Passo 2

Fatoramos a constante do denominador para isolar a parte (1 - dots x^2). Observe que
(a+b)-(a-b)x^2 = (a+b)l[1 - a-ba+b,x^2r]
Defina
k^2=a-ba+b,
o que faz sentido pois 0<a-b<a+b implica 0<k^2<1. Assim
(a+b)-(a-b)x^2=(a+b)l(1 - k^2x^2r)
e a integral fica
integral dx(a+b)-(a-b)x^2 =1a+b,integral dx1 - k^2x^2

Passo 3

Para usar a forma padrão, faça a substituição
u = kx Longrightarrow du = k,dx Longrightarrow dx = duk
Então
integral dx1 - k^2x^2 = integral 11 - u^2;duk = 1k,integral du1 - u^2
Sabendo que
integral du1 - u^2 = arctanh(u) + C,
temos
integral dx1 - k^2x^2 = 1k,arctanh(u) + C = 1k,arctanh(kx) + C

Passo 4

Voltando ao fator 1/(a+b), a integral original é
integral dx(a+b)-(a-b)x^2 = 1a+b,1k,arctanhl(kxr) + C
Como
k(a+b) = raiza-ba+b,(a+b) = raiz(a-b)(a+b) = raiza^2-b^2,
podemos simplificar para
1(a+b),k =1raiza^2-b^2

Resposta

boxed integral dx(a+b)-(a-b)x^2 = 1raiza^2-b^2;arctanh!gl(xraiztfraca-ba+bgr) + C

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