Encontre as seguintes integrais indefinidas:
integral 3-raiz2+3 x^22+3 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 3 - raiz2 + 3x^22 + 3x^2,dx
O conteúdo aqui envolve decompor a expressão em duas integrais mais simples e usar fórmulas conhecidas de
integral dxa+bx^2 e integral dxraiza^2+b^2x^2.

Passo 2

Separamos a integral em duas partes:
integral 3 - raiz2 + 3x^22 + 3x^2,dx = 3integral dx2+3x^2 - integral raiz2+3x^22+3x^2,dx
Note que
raiz2+3x^22+3x^2 = 1raiz2+3x^2,
logo a segunda parte fica integral dxraiz2+3x^2.

Passo 3

Calculemos
integral dx2+3x^2
Usamos a fórmula
integral dxa + b x^2 = 1raizabarctan!l(xraiztfracbar)
Aqui a=2, b=3, então
integral dx2+3x^2 = 1raiz6arctan!l(xraiztfrac32r)
Multiplicando por 3:
3integral dx2+3x^2 = 3raiz6arctan!l(xraiztfrac32r) = raiz62arctan!l(xraiztfrac32r)

Passo 4

Agora calculemos
integral dxraiz2+3x^2
Usamos
integral dxraiza^2 + b^2 x^2 = 1bln!l(bx + raiza^2 + b^2x^2r)
Aqui a^2=2 e b=raiz3, logo
integral dxraiz2+3x^2 = 1raiz3 ln!l(raiz3,x + raiz2+3x^2r)

Passo 5

Reunindo as duas partes e absorvendo a constante de integração em C, obtemos
integral 3 - raiz2 + 3x^22 + 3x^2,dx = raiz62arctan!l(xraiztfrac32r) - 1raiz3 ln!l(raiz3,x + raiz2+3x^2r) + C

Resposta

boxed integral 3 - raiz2 + 3x^22 + 3x^2,dx = raiz62arctan!l(xraiztfrac32r) - 1raiz3 ln!l(raiz3,x + raiz2+3x^2r) + C

Exercícios relacionados