Usando as regras bäsicas e as förmulas da integração, encontre as seguintes integrais:
integral d x7 x^2-8

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral dx7x^2-8
O conteúdo aqui é integração de função racional do tipo integral dxAx^2-B, que normalmente tratamos reconhecendo uma diferença de quadrados ou fazendo substituição para obter a forma padrão
integral duu^2-a^2=12alnl|u-au+ar|+C.

Passo 2

Vamos primeiro escrever o denominador como diferença de quadrados. Note que
7x^2-8 = (raiz7,x)^2 - (2raiz2)^2
Fazemos a substituição
u = raiz7,x,
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du = raiz7,dx Longrightarrow dx = duraiz7
Assim a integral fica
integral dx7x^2-8 = integral tfracduraiz7u^2 - (2raiz2)^2 = 1raiz7integral duu^2 - (2raiz2)^2

Passo 3

Usamos a fórmula padrão
integral duu^2-a^2 = 12alnl|u-au+ar|+C,
com a = 2raiz2. Portanto
integral duu^2 - (2raiz2)^2 = 12cdot 2raiz2 lnl|u - 2raiz2u + 2raiz2r|+C = 14raiz2 lnl|u - 2raiz2u + 2raiz2r|+C
Multiplicando pelo fator tfrac1raiz7 que saiu da substituição, obtemos
1raiz7;cdot;14raiz2 = 14raiz14

Passo 4

Voltando a variável x (lembre que u=raiz7,x), a antiderivada é
14raiz14 lnl|raiz7,x - 2raiz2raiz7,x + 2raiz2r| + C

Resposta

boxed integral dx7x^2-8 = 14raiz14 lnl|raiz7,x - 2raiz2raiz7,x + 2raiz2r| + C

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