Calcule a integral iterada.
integral-3^1 integral1^2(x^2+y^-2) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo de integral iterada, que é basicamente calcular duas integrais, uma de dentro e outra de fora. A equação que precisamos resolver é:
integral-3^1 integral1^2(x^2+y^-2) dy , dx
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais duplas, ou seja, integrar uma função em duas variáveis seguindo uma ordem específica.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é a integração em relação a y :
integral1^2 (x^2 + y^-2) dy
Aqui, x^2 é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a y . Vamos separar essa integral em duas partes:
  1. Integrando x^2 em relação a y :
integral x^2 , dy = x^2 cdot y
  1. Integrando y^-2 em relação a y :
integral y^-2 , dy = integral 1y^2 , dy = -1y
Agora, juntando as duas partes, a integral interna fica:
x^2 cdot y - 1y gr|1^2

Passo 3

Vamos avaliar essa expressão nos limites de y = 1 e y = 2 :
  1. Avaliação em y = 2 :
x^2 cdot 2 - 12 = 2x^2 - 12
  1. Avaliação em y = 1 :
x^2 cdot 1 - 11 = x^2 - 1
Subtraindo as duas avaliações:
(2x^2 - 12) - (x^2 - 1) = x^2 + 12
Então, a integral interna resulta em x^2 + 12 .

Passo 4

Agora, vamos para a integral externa, que é a integração em relação a x :
integral-3^1 (x^2 + 12) dx
Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integrando x^2 em relação a x :
integral x^2 , dx = x^33
  1. Integrando 12 em relação a x :
integral 12 , dx = 12x
Juntando as duas partes, a integral externa fica:
x^33 + 12x gr|-3^1

Passo 5

Vamos avaliar essa expressão nos limites de x = -3 e x = 1 :
  1. Avaliação em x = 1 :
1^33 + 12(1) = 13 + 12 = 56
  1. Avaliação em x = -3 :
(-3)^33 + 12(-3) = -273 - 32 = -9 - 32 = -212
Subtraindo as duas avaliações:
56 - (-212) = 56 + 212 = 56 + 636 = 686 = 343

Resposta

A integral iterada vale 343 .

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