Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo de integral iterada, que é basicamente calcular duas integrais, uma de dentro e outra de fora. A equação que precisamos resolver é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais duplas, ou seja, integrar uma função em duas variáveis seguindo uma ordem específica.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é a integração em relação a :
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a . Vamos separar essa integral em duas partes:
Integrando em relação a :
Integrando em relação a :
Agora, juntando as duas partes, a integral interna fica:
Passo 3
Vamos avaliar essa expressão nos limites de y = 1 e y = 2 :
Avaliação em y = 2 :
x^2 cdot 2 - 12 = 2x^2 - 12
Avaliação em y = 1 :
x^2 cdot 1 - 11 = x^2 - 1
Subtraindo as duas avaliações:
(2x^2 - 12) - (x^2 - 1) = x^2 + 12
Então, a integral interna resulta em x^2 + 12 .
Passo 4
Agora, vamos para a integral externa, que é a integração em relação a x :
integral-3^1 (x^2 + 12) dx
Vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando x^2 em relação a x :
integral x^2 , dx = x^33
Integrando 12 em relação a x :
integral 12 , dx = 12x
Juntando as duas partes, a integral externa fica:
x^33 + 12x gr|-3^1
Passo 5
Vamos avaliar essa expressão nos limites de x = -3 e x = 1 :