Encontre o centróide da região delimitada pela curva x^2+(y+1)^2=1.

Passo 1

O enunciado pede o centróide da lâmina de densidade uniforme determinada pela região
R = (x,y)mid x^2+(y+1)^2<=1
O conteúdo é cálculo de centróide de uma região plana, que pode ser feito por simetria ou por integrais duplas.

Passo 2

Pela definição, as coordenadas do centróide são
bar x = 1Aintegral duplaR x ,dA, bar y = 1Aintegral duplaR y ,dA,
onde A é a área de R. Como R é um disco de raio 1 centrado em (0,-1), temos A=pi.
Por simetria em x, a região é balanceada em torno do eixo y, logo
bar x = 0

Passo 3

Para bar y, podemos usar um deslocamento: defina v=y+1. Então R vira o disco (x,v)mid x^2+v^2<=1 centrado em (0,0). Nesse novo sistema,
integral duplaR v,dA = 0 e integral duplaR1,dA = A = pi
Mas y=v-1, então
integral duplaR y,dA =integral duplaR(v-1),dA =integral duplaRv,dA ;-;integral duplaR1,dA =0-pi=-pi
Logo
bar y = 1Aintegral duplaRy,dA = -pipi = -1

Resposta

O centróide da região é l(0,-1r).

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