Calcule a integral iterada.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^3integral0^1integral0^raiz1-z^2 z,e^y,dx,dz,dy
O conteúdo aqui é cálculo de integrais iteradas em coord. retangulares. Vamos usar que, se a função é produto de fatores que dependem de variáveis distintas, podemos separar a integral, e também faremos uma substituição para a parte em z.

Passo 2

Começamos integrando em x. Como z,e^y não depende de x, temos
integral0^raiz1-z^2 z,e^y,dx = z,e^y,l[xr]0^raiz1-z^2 = z,e^y,raiz1-z^2
Logo a integral tripla vira
integralz=0^1integraly=0^3 z,e^y,raiz1-z^2;dy,dz

Passo 3

Como o integrando é produto de e^y (só y) e de zraiz1-z^2 (só z), podemos separar:
integral0^1integral0^3 z,e^y,raiz1-z^2;dy,dz =l(integral0^3e^ydyr),l(integral0^1zraiz1-z^2,dzr)

Passo 4

Calcular a parte em y:
integral0^3e^ydy =l[e^yr]0^3 =e^3-1

Passo 5

Calcular a parte em z por substituição u=1-z^2, du=-2z,dz:
integral0^1zraiz1-z^2,dz =integralu=1^0raizu,l(-tfrac12,dur) =tfrac12integral0^1u^1/2du =tfrac12cdottfrac23u^3/2|0^1 =tfrac13

Passo 6

Multiplicando os resultados das duas integrais:
l(e^3-1r)timestfrac13 =e^3-13

Resposta

e^3-13

Exercícios relacionados