Calcule a integral iterada.
(\int_{0}^{1} \int_{0}^{z} \int_{0}^{x+z} 6 x z d y d x d z
)
(\int_{0}^{1} \int_{0}^{z} \int_{0}^{x+z} 6 x z d y d x d z
)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral iterada da função
sobre três variáveis:
,
e
. Isso envolve usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar em várias etapas, ou seja, uma integral dentro da outra.
Passo 2
Primeiro, focamos na integral mais interna, que é em relação a
. A integral é de
a
. Como a função
não depende de
, integrar em relação a
é simples. A integral de uma constante
em relação a
de
a
é
.
Então:
Passo 3
Agora, temos uma nova expressão para integrar em relação a
, de
a
:
Primeiro, expandimos a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas integrais:
Substituindo de volta:
Passo 5
Finalmente, integramos
em relação a
, de
a
:
Resposta
O valor da integral iterada é
.