Calcule a integral iterada.
(\int_{0}^{1} \int_{0}^{z} \int_{0}^{x+z} 6 x z d y d x d z
)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral iterada da função 6xz sobre três variáveis: y, x e z. Isso envolve usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar em várias etapas, ou seja, uma integral dentro da outra.

Passo 2

Primeiro, focamos na integral mais interna, que é em relação a y. A integral é de 0 a x + z. Como a função 6xz não depende de y, integrar em relação a y é simples. A integral de uma constante C em relação a y de a a b é C(b - a).
Então:
integral0^x+z 6xz , dy = 6xz cdot (x + z - 0) = 6xz(x + z)

Passo 3

Agora, temos uma nova expressão para integrar em relação a x, de 0 a z:
integral0^z 6xz(x + z) , dx
Primeiro, expandimos a expressão dentro da integral:
6xz(x + z) = 6xz cdot x + 6xz cdot z = 6x^2 z + 6xz^2
Então, a integral fica:
integral0^z 6x^2 z + 6xz^2 , dx = 6z integral0^z x^2 , dx + 6z^2 integral0^z x , dx

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas integrais:
  1. integral0^z x^2 , dx = [ x^33 ]0^z = z^33
  2. integral0^z x , dx = [ x^22 ]0^z = z^22
Substituindo de volta:
6z cdot z^33 + 6z^2 cdot z^22 = 2z^4 + 3z^4 = 5z^4

Passo 5

Finalmente, integramos 5z^4 em relação a z, de 0 a 1:
integral0^1 5z^4 , dz = 5 integral0^1 z^4 , dz = 5 [ z^55 ]0^1 = 5 cdot 15 - 5 cdot 0 = 1

Resposta

O valor da integral iterada é 1.

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