Calcule a integral iterada.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla iterada
integral0^1integral0^zintegral0^yz,e^-y^2;dx;dy;dz
O conteúdo utilizado é integração iterada variável a variável, aproveitando-se de que, em cada passo, a parte que não depende da variável de integração pode ser fatorada.

Passo 2

Integramos em x. Como z,e^-y^2 não depende de x, temos
integral0^yz,e^-y^2,dx = z,e^-y^2integral0^ydx = z,y,e^-y^2

Passo 3

Agora integramos em y:
integral0^zz,y,e^-y^2,dy = zintegral0^zy,e^-y^2,dy
Fazendo a substituição u=-y^2, du=-2y,dy, obtemos
integral0^zy,e^-y^2,dy =-tfrac12l[e^-y^2r]0^z =tfrac12l(1-e^-z^2r)
Portanto os dois primeiros passos resultam em
zcdottfrac12l(1-e^-z^2r) =tfrac z2l(1-e^-z^2r)

Passo 4

Por fim, integramos em z:
integral0^1tfrac z2l(1-e^-z^2r),dz =tfrac12integral0^1z,dz -tfrac12integral0^1z,e^-z^2,dz
Calculamos separadamente
integral0^1z,dz=tfrac12, integral0^1z,e^-z^2,dz =tfrac12l(1-e^-1r)
Substituindo de volta, obtemos
tfrac12l(tfrac12-tfrac12(1-e^-1)r) =tfrac14e^-1

Resposta

tfrac14e^-1

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