Calcule a integral iterada.
(\int_{0}^{1} \int_{x}^{2 x} \int_{0}^{y} 2 x y z d z d y d x
)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada integral0^1 integralx^2x integral0^y 2xy z ,dz,dy,dx. Esse é um problema de integração iterada em três variáveis, onde vamos integrar primeiro em z, depois em y e por fim em x. Vamos usar antiderivadas de monômios e tratar corretamente quais variáveis são constantes em cada etapa.

Passo 2

Fixados x e y, integramos em relação a z: integral0^y 2xy z ,dz. Aqui x e y são constantes, e a antiderivada de z é tfrac12 z^2. Calculando essa integral obtemos:
integral0^y 2xy z ,dz = 2xy cdot l[tfrac12 z^2r]0^y = xy cdot y^2 = x y^3

Passo 3

Agora a integral fica integral0^1 integralx^2x x y^3 ,dy,dx. Na segunda etapa, fixado x, integramos em y:
integralx^2x x y^3 ,dy = x integralx^2x y^3 ,dy Calculando essa integral:
x integralx^2x y^3 ,dy = x cdot l[tfrac14 y^4r]x^2x = x cdot tfrac14l((2x)^4 - x^4r) = tfracx4(16x^4 - x^4) = tfrac154 x^5

Passo 4

Por fim, integramos em relação a x:
integral0^1 tfrac154 x^5 ,dx = tfrac154 cdot l[tfrac16 x^6r]0^1 = tfrac154 cdot tfrac16 = tfrac1524 = tfrac58

Resposta

58

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