Calcule a integral iterada.
(\int_{0}^{1} \int_{x}^{2 x} \int_{0}^{y} 2 x y z d z d y d x
)
(\int_{0}^{1} \int_{x}^{2 x} \int_{0}^{y} 2 x y z d z d y d x
)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
. Esse é um problema de integração iterada em três variáveis, onde vamos integrar primeiro em z, depois em y e por fim em x. Vamos usar antiderivadas de monômios e tratar corretamente quais variáveis são constantes em cada etapa.
Passo 2
Fixados x e y, integramos em relação a z:
. Aqui x e y são constantes, e a antiderivada de
é
. Calculando essa integral obtemos:
Passo 3
Agora a integral fica
. Na segunda etapa, fixado x, integramos em y:
Passo 4
Por fim, integramos em relação a x: