Questão 9 [sof-1]. Qual das seguintes alternativas representa a solução geral da equação diferencial
t y^prime prime+(4 t-1) y^prime+(4 t-2) y=0 ?
y(t)=c1(t^2 e^-2 t)+c2(e^-2 t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá a equação
t y'' + (4t - 1) y' + (4t - 2) y = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar usar métodos de solução para equações de coeficientes variáveis. Vamos seguir passo a passo para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a equação dividindo todos os termos por t (assumindo t neq 0 ):
y'' + (4 - 1t) y' + (4 - 2t) y = 0
Agora, vemos que os coeficientes não são constantes, então vamos considerar uma solução do tipo y = e^rt . Porém, devido aos coeficientes dependerem de t , precisamos de uma abordagem diferente, como a substituição ou a série de potências.

Passo 3

Vamos tentar uma solução da forma y = e^-lambda t onde lambda é uma constante a ser determinada. Calculando as derivadas:
y' = -lambda e^-lambda t
y'' = lambda^2 e^-lambda t
Substituindo na equação original:
t (lambda^2 e^-lambda t) + (4t - 1)(-lambda e^-lambda t) + (4t - 2) e^-lambda t = 0
Simplificando por e^-lambda t :
t lambda^2 + (-lambda)(4t - 1) + (4t - 2) = 0
Distribuindo os termos:
t lambda^2 - 4 lambda t + lambda + 4t - 2 = 0
Agrupando termos semelhantes:
t (lambda^2 - 4lambda + 4) + (lambda - 2) = 0
Para que essa igualdade seja válida para todo t , os coeficientes de cada termo devem ser zero:
lambda^2 - 4lambda + 4 = 0
lambda - 2 = 0
Resolvendo a primeira equação quadrática:
lambda^2 - 4lambda + 4 = 0 implies (lambda - 2)^2 = 0 implies lambda = 2
A segunda equação confirma lambda = 2 .

Passo 4

Encontramos que lambda = 2 , então uma solução particular é:
y1(t) = e^-2t
Como a raiz é dupla, a segunda solução será:
y2(t) = t e^-2t

Passo 5

Portanto, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções encontradas:
y(t) = c1 e^-2t + c2 t e^-2t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(t) = c1, e^-2 t + c2, t e^-2 t

Exercícios relacionados