Questão 9 [sof-1]. Qual das seguintes alternativas representa a solução geral da equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá a equação
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar usar métodos de solução para equações de coeficientes variáveis. Vamos seguir passo a passo para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a equação dividindo todos os termos por
(assumindo
):
Agora, vemos que os coeficientes não são constantes, então vamos considerar uma solução do tipo
. Porém, devido aos coeficientes dependerem de
, precisamos de uma abordagem diferente, como a substituição ou a série de potências.
Passo 3
Vamos tentar uma solução da forma
onde
é uma constante a ser determinada. Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando por
:
Distribuindo os termos:
Agrupando termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de cada termo devem ser zero:
Resolvendo a primeira equação quadrática:
A segunda equação confirma
.
Passo 4
Encontramos que
, então uma solução particular é:
Como a raiz é dupla, a segunda solução será:
Passo 5
Portanto, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções encontradas:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é