Calcule a integral iterada.
integral0^pi / 6 integral0^cos 3 theta r d r d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^pi / 6 integral0^cos 3theta r , dr , dtheta
O conteúdo é cálculo de integral dupla via separação de integrais iteradas. Para resolver, precisamos:
  1. integrar em r;
  2. integrar em theta;
  3. usar identidade trigonométrica para cos^2.

Passo 2

Integramos primeiro em r:
integral0^cos 3theta r,dr =[tfrac12 r^2]0^cos3theta =tfrac12(cos3theta)^2
Assim a integral vira
I = integral0^pi/6 tfrac12 (cos3theta)^2,dtheta

Passo 3

Colocamos o fator 1/2 para fora e aplicamos a identidade
cos^2u = tfrac1+cos2u2 com u=3theta:
(cos3theta)^2 =tfrac1+cos6theta2
Logo
I = tfrac12integral0^pi/6tfrac1+cos6theta2,dtheta =tfrac14integral0^pi/6(1+cos6theta),dtheta

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral0^pi/61,dtheta = tfracpi6, integral0^pi/6cos6theta,dtheta =[tfrac16sin6theta]0^pi/6 =0
Portanto
integral0^pi/6(1+cos6theta),dtheta =tfracpi6

Passo 5

Substituindo de volta em I, obtemos
I = tfrac14cdottfracpi6 =tfracpi24

Resposta

pi24

Exercícios relacionados