Calcule a integral iterada.
integral0^pi integral0^1+cos theta r d r d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^piintegral0^1+costhetar,dr,dtheta
O conteúdo aqui é integrais duplas em coordenadas polares (já dadas em r e theta). A estratégia é primeiro integrar em r (a integral interna) e depois em theta (a integral externa).

Passo 2

Calcular a integral interna em r:
integral0^1+costhetar,dr
Usando a primitiva de r, que é tfrac12r^2, obtemos
integral0^1+costhetar,dr =12r^2|0^,1+costheta =12l(1+costhetar)^2

Passo 3

Substituindo na integral externa, fica
integral0^piintegral0^1+costhetar,dr,dtheta =integral0^pi12l(1+costhetar)^2dtheta =12integral0^pil(1+2costheta+cos^2thetar)dtheta

Passo 4

Expandimos cos^2theta usando a identidade
cos^2theta=1+cos(2theta)2
Então o integrando vira
1+2costheta+1+cos(2theta)2 =32+2costheta+12cos(2theta)
Integramos de 0 a pi:
integral0^pi32,dtheta =32pi, integral0^pi2costheta,dtheta =2l[sinthetar]0^pi=0, integral0^pi12cos(2theta),dtheta =14l[sin(2theta)r]0^pi=0
Somando e lembrando do fator tfrac12 inicial, obtemos
12cdot32pi =34pi

Resposta

34pi

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