Um fluido tem densidade
e escoa com velocidade
, onde
são medidos em metros e as componentes de
em metros por segundo. Encontre a vazão para fora do cilindro
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente tem um fluido com densidade de
que está escoando com uma velocidade dada pela função
. As coordenadas
,
e
estão medidas em metros, e a velocidade em metros por segundo. A pergunta é para encontrar a vazão para fora de um cilindro definido por
e que vai de
até
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de fluxo de fluido e integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “vazão para fora”. A vazão é basicamente quanto fluido está passando através de uma superfície por unidade de tempo. Para calcular isso, usamos a integral de superfície do produto da densidade (
) pela velocidade (
) pelo vetor normal da superfície (
).
A fórmula geral para a vazão (
) é:
Passo 3
Como estamos lidando com um cilindro, é mais fácil usar o teorema da divergência (ou teorema de Gauss). Esse teorema nos permite transformar a integral de superfície em uma integral de volume, o que geralmente é mais simples de calcular.
O teorema da divergência diz que:
Então, aplicando a densidade, temos:
Passo 4
Vamos calcular a divergência da velocidade,
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
,
e
, então:
Passo 5
Agora, precisamos integrar essa divergência sobre o volume do cilindro. O cilindro está definido por
e
. Em coordenadas cilíndricas, onde
,
e
, as integrais ficam mais fáceis.
A conversão para coordenadas cilíndricas dá:
Aqui,
vai de 0 a 2 (porque
),
vai de 0 a
, e
vai de 0 a 1.
Passo 6
Vamos realizar a integração passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
A integral de
de 0 a
é zero, porque a função é simétrica e suas áreas positivas e negativas se cancelam.
Passo 7
Como a integral interna resultou em zero, todo o fluxo fica zero:
Resposta
A vazão para fora do cilindro é zero.