Um fluido tem densidade 870 kg / m^3 e escoa com velocidade v=z i+y^2 j+x^2 k, onde x, y e z são medidos em metros e as componentes de v em metros por segundo. Encontre a vazão para fora do cilindro x^2+y^2=4,0 <= z <= 1(F=rho v)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente tem um fluido com densidade de 870 , kg/m^3 que está escoando com uma velocidade dada pela função v = z i + y^2 j + x^2 k . As coordenadas x, y e z estão medidas em metros, e a velocidade em metros por segundo. A pergunta é para encontrar a vazão para fora de um cilindro definido por x^2 + y^2 = 4 e que vai de z = 0 até z = 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de fluxo de fluido e integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “vazão para fora”. A vazão é basicamente quanto fluido está passando através de uma superfície por unidade de tempo. Para calcular isso, usamos a integral de superfície do produto da densidade ( rho) pela velocidade ( v) pelo vetor normal da superfície ( n).
A fórmula geral para a vazão ( F) é:
F = integral duplaS rho v cdot n , dS

Passo 3

Como estamos lidando com um cilindro, é mais fácil usar o teorema da divergência (ou teorema de Gauss). Esse teorema nos permite transformar a integral de superfície em uma integral de volume, o que geralmente é mais simples de calcular.
O teorema da divergência diz que:
integral duplaS v cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot v , dV
Então, aplicando a densidade, temos:
F = rho integral triplaV nabla cdot v , dV

Passo 4

Vamos calcular a divergência da velocidade, nabla cdot v. A divergência de um campo vetorial v = vx i + vy j + vz k é dada por:
nabla cdot v = partial vxpartial x + partial vypartial y + partial vzpartial z
No nosso caso, vx = z, vy = y^2 e vz = x^2, então:
nabla cdot v = partial zpartial x + partial y^2partial y + partial x^2partial z = 0 + 2y + 0 = 2y

Passo 5

Agora, precisamos integrar essa divergência sobre o volume do cilindro. O cilindro está definido por x^2 + y^2 <= 4 e 0 <= z <= 1. Em coordenadas cilíndricas, onde x = r cos theta, y = r sin theta e z = z, as integrais ficam mais fáceis.
A conversão para coordenadas cilíndricas dá:
integral triplaV 2y , dV = integral triplaV 2(r sin theta) , r , dr , dtheta , dz
Aqui, r vai de 0 a 2 (porque x^2 + y^2 <= 4), theta vai de 0 a 2pi, e z vai de 0 a 1.

Passo 6

Vamos realizar a integração passo a passo. Primeiro, integramos em relação a z:
integral0^1 dz = 1
Então, a integral fica:
2 integral0^2 integral0^2pi (r sin theta) , r , dtheta , dr = 2 integral0^2 r^2 ( integral0^2pi sin theta , dtheta ) dr
A integral de sin theta de 0 a 2pi é zero, porque a função é simétrica e suas áreas positivas e negativas se cancelam.

Passo 7

Como a integral interna resultou em zero, todo o fluxo fica zero:
F = rho times 0 = 0

Resposta

A vazão para fora do cilindro é zero.

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