Calcule a integral iterada.
integral0^pi / 2 integral0^a sen theta r^2 d r d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^pi/2integral0^asinthetar^2,dr,dtheta
Aqui vamos usar antiderivadas de potências para a integral em r e depois técnicas de integração (substituição) para a parte em theta.

Passo 2

Calculamos a integral interna em r:
integral0^asinthetar^2,dr = l[tfracr^33r]0^asintheta = (asintheta)^33

Passo 3

Substituindo no integral externo em theta:
integral0^pi/2(asintheta)^33,dtheta = a^33integral0^pi/2sin^3theta,dtheta

Passo 4

Para integral0^pi/2sin^3theta,dtheta usamos
sin^3theta=sintheta,(1-cos^2theta) e a substituição
,u=costheta, du=-sintheta,dtheta. Isso dá
integral0^pi/2sin^3theta,dtheta =integral1^0-(1-u^2),du =integral0^1(1-u^2),du =l[u-tfracu^33r]0^1 =1-tfrac13 =tfrac23

Passo 5

Voltando à expressão do passo 3:
a^33integral0^pi/2sin^3theta,dtheta =a^33cdot23 =2a^39

Resposta

2a^39

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