Resolva os problemas de valor inicial:
y^prime+3t^2 y=e^-t^3+t ; y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' + 3t^2,y = e^-t^3+t, y(0)=2
Isso é uma EDO linear de primeira ordem da forma y' + P(t),y = Q(t) com P(t)=3t^2 e Q(t)=e^-t^3+t. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(t) como
mu(t) = expl(integral P(t),dtr) = expl(integral 3t^2,dtr) = expl(t^3r)

Passo 3

Multiplicando a EDO original por mu(t) obtemos
exp(t^3),y' + 3t^2,exp(t^3),y = e^-t^3+t,exp(t^3)
O lado esquerdo é exatamente ddtl(y,e^t^3r) e o lado direito simplifica para e^t. Logo
ddtl(y,e^t^3r) = e^t

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
y,e^t^3 = integral e^t,dt = e^t + C,
portanto a solução geral é
y(t) = e^-t^3l(e^t + Cr)

Passo 5

Usamos a condição inicial y(0)=2:
2 = e^0l(e^0 + Cr) = 1 + C Longrightarrow C=1

Resposta

y(t) = e^-t^3l(e^t + 1r) = e^,t - t^3 + e^-t^3

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