Seja
a região do primeiro quadrante delimitada pelos círculos
e
. Preencha as lacunas com os extremos de integração que faltam.
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa preencher os espaços em branco nos limites de integração para calcular uma integral dupla sobre uma região
no primeiro quadrante. Essa região está delimitada pelos círculos
e
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são ótimas para trabalhar com círculos. Vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para polares e saber quais são os limites para
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto é definido por
(a distância do ponto até a origem) e
(o ângulo que o raio faz com o eixo positivo
).
Aqui, temos dois círculos:
- O círculo
tem raio porque . - O círculo
tem raio porque .
Passo 3
Como a região
está no primeiro quadrante, o ângulo
varia de
a
radianos (ou 90 graus). Isso porque o primeiro quadrante cobre todo esse intervalo de ângulos.
Passo 4
Agora, vamos definir os limites para
. Em coordenadas polares, para cada ângulo
no primeiro quadrante,
começa no raio menor do círculo interno (3) e vai até o raio maior do círculo externo (10). Então,
varia de 3 a 10.
Passo 5
Com esses limites definidos, a integral dupla fica assim:
Aqui, adicionamos o fator
no integrando porque em coordenadas polares, o elemento de área
.