Seja R a região do primeiro quadrante delimitada pelos círculos x^2+y^2=9 e x^2+y^2=100. Preencha as lacunas com os extremos de integração que faltam.
integral duplaR f(r, theta) d A=integralsquare^square integralsquare^square f(r, theta) r d r d theta

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa preencher os espaços em branco nos limites de integração para calcular uma integral dupla sobre uma região R no primeiro quadrante. Essa região está delimitada pelos círculos x^2 + y^2 = 9 e x^2 + y^2 = 100 . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são ótimas para trabalhar com círculos. Vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para polares e saber quais são os limites para r e theta .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto é definido por r (a distância do ponto até a origem) e theta (o ângulo que o raio faz com o eixo positivo x ).
Aqui, temos dois círculos:
  • O círculo x^2 + y^2 = 9 tem raio r = 3 porque raiz9 = 3 .
  • O círculo x^2 + y^2 = 100 tem raio r = 10 porque raiz100 = 10 .

Passo 3

Como a região R está no primeiro quadrante, o ângulo theta varia de 0 a pi2 radianos (ou 90 graus). Isso porque o primeiro quadrante cobre todo esse intervalo de ângulos.

Passo 4

Agora, vamos definir os limites para r . Em coordenadas polares, para cada ângulo theta no primeiro quadrante, r começa no raio menor do círculo interno (3) e vai até o raio maior do círculo externo (10). Então, r varia de 3 a 10.

Passo 5

Com esses limites definidos, a integral dupla fica assim:
integral duplaR f(r, theta) , dA = integral0^pi2 integral3^10 f(r, theta) , r , dr , dtheta
Aqui, adicionamos o fator r no integrando porque em coordenadas polares, o elemento de área dA = r , dr , dtheta .

Resposta

integral duplaR f(r, theta) , dA = integral0^pi2 integral3^10 f(r, theta) , r , dr , dtheta

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