Seja
o volume do sólido limitado acima pelo hemisfério
e abaixo pelo disco compreendido pelo círculo
. Expressado como uma integral dupla em coordenadas polares,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo de volume usando integrais duplas em coordenadas polares. O problema nos pede para encontrar o volume
de um sólido que é limitado acima pelo hemisfério dado por
e abaixo por um disco definido pelo círculo
. Vamos precisar usar as coordenadas polares porque a simetria do problema facilita bastante a resolução nesse sistema. Então, vamos montar nossa integral dupla passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Em coordenadas polares,
representa a distância ao origem e
o ângulo. O disco abaixo é definido por
. Isso significa que para cada ângulo
, o raio
vai de 0 até
. Mas precisamos saber em quais valores de
isso acontece.
Sabemos que
varia entre 0 e 1 quando
vai de 0 a
(90 graus). Depois de
,
começa a diminuir. Então, para cobrir todo o disco definido por
, precisamos que
varia de 0 a
.
Passo 3
Agora, vamos pensar na função que descreve o topo do sólido, que é o hemisfério
. Esse
nos dá a altura do sólido em cada ponto
. Para calcular o volume, vamos integrar essa altura sobre a região definida pelo disco
.
Passo 4
Em coordenadas polares, a integral dupla para o volume
fica assim:
Aqui,
é a altura
do hemisfério, e o
que está multiplicando vem do jacobiano das coordenadas polares, que é necessário para converter a área de coordenadas cartesianas para polares.
Passo 5
Resumindo, configuramos a integral dupla em coordenadas polares onde:
-
varia de 0 a para cobrir todo o círculo definido por . - Para cada
, varia de 0 até . - A função a ser integrada é
multiplicada por (do jacobiano).