Seja V o volume do sólido limitado acima pelo hemisfério z=raiz1-r^2 e abaixo pelo disco compreendido pelo círculo r=sen theta. Expressado como uma integral dupla em coordenadas polares, V=

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo de volume usando integrais duplas em coordenadas polares. O problema nos pede para encontrar o volume V de um sólido que é limitado acima pelo hemisfério dado por z = raiz1 - r^2 e abaixo por um disco definido pelo círculo r = sin theta . Vamos precisar usar as coordenadas polares porque a simetria do problema facilita bastante a resolução nesse sistema. Então, vamos montar nossa integral dupla passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Em coordenadas polares, r representa a distância ao origem e theta o ângulo. O disco abaixo é definido por r = sin theta . Isso significa que para cada ângulo theta , o raio r vai de 0 até sin theta . Mas precisamos saber em quais valores de theta isso acontece.
Sabemos que sin theta varia entre 0 e 1 quando theta vai de 0 a pi/2 (90 graus). Depois de pi/2 , sin theta começa a diminuir. Então, para cobrir todo o disco definido por r = sin theta , precisamos que theta varia de 0 a pi .

Passo 3

Agora, vamos pensar na função que descreve o topo do sólido, que é o hemisfério z = raiz1 - r^2 . Esse z nos dá a altura do sólido em cada ponto (r, theta) . Para calcular o volume, vamos integrar essa altura sobre a região definida pelo disco r = sin theta .

Passo 4

Em coordenadas polares, a integral dupla para o volume V fica assim:
V = integraltheta=0^pi integralr=0^sin theta raiz1 - r^2 cdot r , dr , dtheta
Aqui, raiz1 - r^2 é a altura z do hemisfério, e o r que está multiplicando vem do jacobiano das coordenadas polares, que é necessário para converter a área de coordenadas cartesianas para polares.

Passo 5

Resumindo, configuramos a integral dupla em coordenadas polares onde:
  • theta varia de 0 a pi para cobrir todo o círculo definido por r = sin theta .
  • Para cada theta , r varia de 0 até sin theta .
  • A função a ser integrada é raiz1 - r^2 multiplicada por r (do jacobiano).

Resposta

V = integral0^pi integral0^sin theta raiz1 - r^2 cdot r , dr , dtheta

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