Calcule a integral iterada.
integral0^2 integral0^z integral0^y-z(2 x-y) d x d y d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla iterada
integral0^2integral0^zintegral0^y - z(2x - y),dx,dy,dz
O conteúdo é integração iterada (teorema de Fubini), integrando primeiro em x, depois em y e por fim em z.

Passo 2

Integramos em x:
integral0^y - z(2x - y),dx
A primitiva de 2x - y em x é
x^2 - yx
Logo,
integral0^y - z(2x - y),dx = l[(y - z)^2 - y(y - z)r] - l[0 - 0r] = (y - z)^2 - y(y - z)
Simplificando:
(y - z)^2 - y(y - z) = y^2 - 2yz + z^2 - y^2 + yz = z^2 - yz

Passo 3

Agora integramos em y:
integral0^z(z^2 - yz),dy
Como z é constante nesta etapa,
integral0^z(z^2 - z y),dy = z^2,y - z,y^22g|0^z = z^3 - z^32 = z^32

Passo 4

Por fim, integramos em z:
integral0^2z^32,dz = 12integral0^2z^3,dz = 12cdotz^44g|0^2 = 12cdot164 = 2

Resposta

2

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