Sejam f(x)=|x|+|x-7| e g(x)=x^2-9.
Determine f circ g(x);

Passo 1

O enunciado pede para calcular a composição (f∘g)(x), onde f(x)=|x|+|x−7| e g(x)=x²−9. O conteúdo envolve valores absolutos e definição de função por partes a partir dos pontos em que os argumentos dos |·| mudam de sinal.

Passo 2

Substituímos g em f: (f∘g)(x)=f(g(x))=|g(x)|+|g(x)−7|. Como g(x)=x²−9, temos
(fcirc g)(x)=|x²−9|+|,(x²−9)−7,|=|x²−9|+|x²−16| ²²²²

Passo 3

Para resolver as somas de valores absolutos, identificamos onde mudam de sinal as expressões dentro dos |·|: x²−9=0 ⇔ x=±3 e x²−16=0 ⇔ x=±4. Esses pontos partem ℝ em três faixas importantes em função de |x|.

Passo 4

Analisamos cada faixa de |x|:
  • Se |x|≥4, então x²≥16, logo x²−9≥0 e x²−16≥0. Assim
(fcirc g)(x)=(x²−9)+(x²−16)=2x²−25 ²²²
  • Se 3≤|x|<4, então 9≤x²<16, logo x²−9≥0 e x²−16<0. Assim
(fcirc g)(x)=(x²−9)+(16−x²)=7 ²²
  • Se |x|≤3, então x²≤9, logo x²−9≤0 e x²−16<0. Assim
(fcirc g)(x)=(9−x²)+(16−x²)=25−2x² ²²²

Passo 5

Com isso, montamos a definição por partes de (f∘g)(x) de acordo com o valor de |x|.

Resposta

(fcirc g)(x)= 2x^2-25, & |x|>=4, 7, & 3<=|x|<4, 25-2x^2, & |x|<=3

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