Calcule a integral integral triplaE(z-x y^2) d V, onde
E=(x, y, z) mid-1 <= x <= 1,0 <= y <= 2,0 <= z <= 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral triplaEl(z - x,y^2r),dV
no paralelepípedo
E=(x,y,z)mid -1<= x<=1,;0<= y<=2,;0<= z<=1
O conteúdo é integração em coordenadas cartesianas num domínio retangular, onde podemos separar a integral em produto de integrais unidimensionais.

Passo 2

Podemos escrever
integral triplaE(z - x,y^2),dV =integral triplaEz,dV ;-;integral triplaEx,y^2,dV
Cada termo será avaliado por integração iterada em x,y,z.

Passo 3

Para o primeiro termo temos
integral triplaEz,dV =integralx=-1^1!integraly=0^2!integralz=0^1z,dz,dy,dx
Primeiro,
integralz=0^1z,dz=l[tfracz^22r]0^1=tfrac12
Em seguida,
integraly=0^21,dy=2, integralx=-1^11,dx=2
Multiplicando,
integral triplaEz,dV =2times2timestfrac12=2

Passo 4

Para o segundo termo,
integral triplaEx,y^2,dV =integralx=-1^1!integraly=0^2!integralz=0^1x,y^2,dz,dy,dx
Como o integrando não depende de z,
integralz=0^1dz=1,
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integral triplaEx,y^2,dV =integralx=-1^1x,dx;times;integraly=0^2y^2,dy
Mas
integralx=-1^1x,dx =l[tfracx^22r]-1^1 =tfrac12-tfrac12=0,
então esse termo vale 0.

Resposta

A integral solicitada é
2 - 0 = 2

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