Calcule os limites a seguir.
lim x 4 tg x-tg 4sen x-sen 4

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto 4tan x - tan 4sin x - sin 4.
O conteúdo aqui é limites de razão que resultam em forma indeterminada tfrac00, e vamos usar a Regra de L’Hôpital para resolvê-lo.

Passo 2

Primeiro, note que, ao substituir x=4, obtemos
tg 4-tg 4=0 e sen 4-sen 4=0,
ou seja, trata-se de uma indeterminação do tipo tfrac00.

Passo 3

Pela Regra de L’Hôpital, se limxto a f(x) = 0 e limxto a g(x) = 0, então
limxto a f(x)g(x) = limxto a f'(x)g'(x),
desde que este segundo limite exista. Aqui f(x) = tan x e g(x) = sin x.

Passo 4

Calculamos as derivadas:
f'(x)=ddxl(tg xr)=sec^2 x e g'(x)=ddxl(sen xr)=cos x

Passo 5

Logo, pelo L’Hôpital,
limxto 4 tan x - tan 4sin x - sin 4 = limxto 4 sec^2 xcos x = sec^2(4)cos(4) = 1cos^2(4) , cos(4) = 1cos^3(4)

Resposta

1cos^3(4)

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