Calcule a integral iterada.
integral0^3 integral0^raizy-x^3 integral0^x y z d y d z d x

Passo 1

O enunciado pede a integral iterada
integral0^3integral0^raiz,y - x^3,integral0^xy,z;dy;dz;dx
A integrand é f(x,y,z)=y,z. Como o limite em z é 0<= z<=raizy-x^3, isso só faz sentido quando y - x^3>=0, ou seja y>= x^3. Mas y vai de 0 a x, então precisamos de
x^3<= y<= x,
e para que exista ponto com x^3<= x é preciso 0<= x<=1. Portanto a região efetiva é
0<= x<=1, x^3<= y<= x, 0<= z<=raizy-x^3

Passo 2

Calcular primeiro
integral0^raizy-x^3y,z;dz =;yintegral0^raizy-x^3z;dz =;ygl[z^22gr]0^raizy-x^3 =y,(y - x^3)2

Passo 3

Agora integramos em y de y=x^3 até y=x:
integralx^3^xy,(y - x^3)2;dy =12integralx^3^xl(y^2 - x^3yr);dy
Uma primitiva de y^2 é y^3/3 e de x^3y é x^3y^2/2. Logo,
12l[y^33 - x^3y^22r]y=x^3^y=x =12l(x^33-x^52 ;-;l(tfracx^93-tfracx^92r)r) =x^36-x^54+x^912

Passo 4

Finalmente integramos em x de 0 a 1:
integral0^1l(x^36-x^54+x^912r);dx =l[x^424-x^624+x^10120r]0^1 =124-124+1120 =1120

Resposta

1120

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