Calcule.
lim x 0^+ sen xx^3-x^2 não existe.

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto0^+sen xx^3-x^2,
O conteúdo usado será limite de funções, fatoração de polinômio e equivalência infinitesimal sen xsim x quando xto0.

Passo 2

Fatoramos o denominador para expor o comportamento em x=0:
x^3-x^2=x^2(x-1),
Então a expressão fica
sen xx^3-x^2 =sen xx^2(x-1)

Passo 3

Para xto0, vale a equivalência infinitesimal
sen xsim x,
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sen xx^2(x-1)sim xx^2(x-1) =1x(x-1),
Reescrevendo,
1x(x-1) =1-,x(1-x),

Passo 4

Quando xto0^+, o fator x(1-x) tende a 0^+, portanto -,x(1-x)to0^-. Isso faz com que
1-,x(1-x)to -infty
Como a função diverge para -infty, não há limite finito.

Resposta

O limite diverge para menos infinito, ou seja, não existe como número real (tende a -infty).

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