Calcule a integral iterada abaixo:
integral0^4 integral0^4 cos theta r d r d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^4!integral0^4costhetar,dr,dtheta
O conteúdo aqui é integração dupla em coordenadas polares (ou iterada em r e theta), e vamos precisar primeiro integrar em r e depois em theta, além de usar a identidade para cos^2theta.

Passo 2

Calcular a integral interna em r:
integral0^4costhetar,dr =r^22|0^4costheta =(4costheta)^22 =16cos^2theta2 =8cos^2theta

Passo 3

Substituir na integral externa e usar a identidade
cos^2theta=tfrac1+cos2theta2:
integral0^48cos^2theta,dtheta =8integral0^41+cos2theta2,dtheta =4integral0^4l(1+cos2thetar),dtheta

Passo 4

Calcular a integral em theta:
4integral0^41,dtheta +4integral0^4cos2theta,dtheta =4l[thetar]0^4 +4[sin2theta2]0^4 =4l(4-0r) +2l(sin8-0r) =16+2sin8

Resposta

16 + 2sin8

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