Nos problemas 1-14, resolva o problema de valor inicial dado usando o método de transformadas de Laplace.
z^prime prime+5 z^prime-6 z=21 e^t-1;
z(1)=-1, z^prime(1)=9

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
z''+5z'-6z=21e^t-1, z(1)=-1,;z'(1)=9
usando transformada de Laplace. Como as condições iniciais estão em t=1, vamos primeiro redefinir o tempo para aplicar a transformada de Laplace a partir de zero.

Passo 2

Definimos tau=t-1 e w(tau)=z(t). Então
w''(tau)+5w'(tau)-6w(tau)=21e^(t-1)=21e^tau,
com condições
w(0)=z(1)=-1, w'(0)=z'(1)=9

Passo 3

Aplicamos a transformada de Laplace em tau, denotando W(s)=Lw(tau). Usamos
Lw''=s^2W - s,w(0)-w'(0) =s^2W + s -9,
Lw'=sW - w(0)=sW+1,
Le^tau=1s-1
A equação transformada fica
l(s^2W + s -9r) +5l(sW+1r) -6W =21cdot1s-1
Agrupando termos,
(s^2+5s-6)W + (s-9+5)=21s-1,
(s^2+5s-6)W + (s-4)=21s-1
Logo
W(s) =21s-1-(s-4)(s^2+5s-6) =-s^2+5s+17(s-1)^2(s+6)

Passo 4

Fazemos frações parciais:
-s^2+5s+17(s-1)^2(s+6) =A(s-1)^2+Bs-1+Cs+6
Resolvem-se os coeficientes e obtém-se
A=3,;B=0,;C=-1
Assim
W(s)=3(s-1)^2-1s+6
Invertendo a transformada:
w(tau) =3,tau e^tau-e^-6tau

Passo 5

Voltando à variável original t, como tau=t-1, temos
z(t)=w(t-1) =3,(t-1),e^,t-1-e^-6(t-1)

Resposta

boxed,z(t)=3,(t-1),e^,t-1-e^-6(t-1)

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