Nos problemas 1-14, resolva o problema de valor inicial dado usando o método de transformadas de Laplace.
y^prime prime-4 y=4 t-8 e^-2 t;
y(0)=0, y^prime(0)=5

Passo 1

O enunciado pede para resolver o valor inicial
y''-4y = 4t - 8e^-2t, y(0)=0,;y'(0)=5
usando o método de transformada de Laplace. Vamos usar as fórmulas
Ly'(t)=sY(s)-y(0),
Ly''(t)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0),
além de tabelas de Lt e Le^-2t e frações parciais.

Passo 2

Aplicando L em ambos os lados de
y''-4y = 4t - 8e^-2t
e usando y(0)=0, y'(0)=5, obtemos
l(s^2Y(s)-5r)-4Y(s) =4s^2-8s+2

Passo 3

Isolando Y(s) na equação acima,
(s^2-4)Y(s)-5 = 4s^2-8s+2 Longrightarrow Y(s) =5s^2-4 +4s^2,(s^2-4) -8(s+2)(s^2-4)

Passo 4

Escrevemos
Y(s)=Y1(s)+Y2(s)+Y3(s)
com
Y1(s)=5s^2-4, Y2(s)=4s^2(s^2-4), Y3(s)=-8(s+2)(s^2-4)

Passo 5

Para cada termo fazemos frações parciais e invertimos:
  1. Y1(s)=5(s-2)(s+2)=5/4s-2-5/4s+2
    Longrightarrow y1(t)=54e^2t-54e^-2t
  2. Y2(s)=4s^2(s-2)(s+2) =-1s^2+1/4s-2-1/4s+2
    Longrightarrow y2(t)=-t+tfrac14e^2t-tfrac14e^-2t
  3. Y3(s)=-8(s-2)(s+2)^2 =-121s-2+121s+2+2(s+2)^2
    Longrightarrow y3(t)=-tfrac12e^2t+tfrac12e^-2t+2t,e^-2t

Passo 6

Somando e combinando termos semelhantes,
y(t)=y1+y2+y3 =e^2t-e^-2t-t+2t,e^-2t

Resposta

y(t) = e^2t ;-; e^-2t;-;t;+;2,t,e^-2t

Exercícios relacionados