Determine o volume e as coordenadas do centroide do sólido limitado pela superfície cônica z= \varphi_{2}(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e a superfície z=\varphi_{1}(x, y)=2 \cdot 5-x^{2}-y^{2}.

Passo 1

O problema pede o volume e as coordenadas do centroide do sólido limitado por
z=\varphi_{2}(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \quad\text{e}\quad z=\varphi_{1}(x,y)=10 - x^{2}-y^{2}.
O método mais conveniente é usar coordenadas cilíndricas, pois a região tem simetria radial. Precisamos:
  1. Determinar até que valor de r a região existe (interseção das superfícies).
  2. Calcular
V=\iint_{D}\bigl(\varphi_{1}-\varphi_{2}\bigr)\,dA
em cilíndricas.
3. Usar a simetria para ver que x_{c}=y_{c}=0 e calcular
z_{c}=\frac{1}{V}\iiint_{\text{sólido}}z\,dV.ó

Passo 2

A interseção ocorre quando
\sqrt{x^{2}+y^{2}} \;=\;10-(x^{2}+y^{2}).
Em coordenadas cilíndricas r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, fica
r \;=\;10 - r^{2} \;\Longrightarrow\; r^{2}+r-10=0.
A raiz positiva é
R = \frac{-1+\sqrt{1+40}}{2} = \frac{-1+\sqrt{41}}{2}.
Logo a região projeta-se no disco 0\le r\le R, 0\le\theta\le2\pi.

Passo 3

Em cilíndricas dA=r\,dr\,d\theta e a altura vale \varphi_{1}-\varphi_{2}=(10-r^{2})-r.
V =\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{r=0}^{R}\bigl(10-r^{2}-r\bigr)\,r\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{R}\bigl(10r - r^{3}-r^{2}\bigr)\,dr.
Compute a integral em r:
\int_{0}^{R}10r\,dr =5R^{2},\quad \int_{0}^{R}r^{2}\,dr=\frac{R^{3}}{3},\quad \int_{0}^{R}r^{3}\,dr=\frac{R^{4}}{4}.
Logo
V =2\pi\Bigl(5R^{2} - \tfrac{R^{3}}{3} - \tfrac{R^{4}}{4}\Bigr) =\frac{\pi\bigl(661 - 41\sqrt{41}\bigr)}{12}.

Passo 4

Porque a região é circularmente simétrica, x_{c}=y_{c}=0. Para z_{c} usamos
z_{c} =\frac{1}{V} \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{R}\!\int_{z=r}^{\,10-r^{2}}z\;r\,dz\,dr\,d\theta \;=\; \frac{\pi}{V}\int_{0}^{R}\bigl[(10-r^{2})^{2}-r^{2}\bigr]\frac{r}{2}\,dr.
Desenvolvendo e integrando, obtém-se
\iiint z\,dV =\pi\Bigl(50R^{2}-\tfrac{21}{4}R^{4}+\tfrac{1}{6}R^{6}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad z_{c} =\frac{\,\pi\bigl(50R^{2}-\tfrac{21}{4}R^{4}+\tfrac{1}{6}R^{6}\bigr)\,} {\displaystyle V}.

Passo 5

Substituindo R=\tfrac{-1+\sqrt{41}}{2} e o valor de V, chega-se à forma fechada
z_{c} =\frac{1690 + 41R}{661 - 41R} \approx 4{,}514.

Resposta

O volume do sólido é
V = \frac{\pi\bigl(661 - 41\sqrt{41}\bigr)}{12} \approx 104{,}25
e as coordenadas do centroide são
(x_{c},y_{c},z_{c}) =(0,\,0,\,4{,}514).

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