Determine o volume e as coordenadas do centroide do sólido limitado pela superfície cônica
e a superfície
.
Passo 1
O problema pede o volume e as coordenadas do centroide do sólido limitado por
O método mais conveniente é usar coordenadas cilíndricas, pois a região tem simetria radial. Precisamos:
- Determinar até que valor de
a região existe (interseção das superfícies). - Calcular
em cilíndricas.
3. Usar a simetria para ver que e calcular
3. Usar a simetria para ver que
Passo 2
A interseção ocorre quando
Em coordenadas cilíndricas
, fica
A raiz positiva é
Logo a região projeta-se no disco
,
.
Passo 3
Em cilíndricas
e a altura vale
.
Compute a integral em
:
Logo
Passo 4
Porque a região é circularmente simétrica,
. Para
usamos
Desenvolvendo e integrando, obtém-se
Passo 5
Substituindo
e o valor de
, chega-se à forma fechada
Resposta
O volume do sólido é
e as coordenadas do centroide são