8 Seja b \in \mathbb{R} tal que a equação
x^{2}-6 b x-\left(1-b^{2}\right)\left(y^{2}-2 b y\right)+b^{4}+8 b^{2}-1=0
determina uma hipérbole. Com respeito ao centro C desta hipérbole podemos afirmar:
A C \in\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} / x^{2} / 9+y^{2} / 12<1\right\}.
B C \in\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} / x^{2} / 4+y^{2} / 2>1\right\}.
C C \in\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} / x^{2} / 9-y^{2} / 2<1\right\}.
D C \in\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} / 3 x^{2}-2 y^{2}<1\right\}.
E Nenhuma das alternativas anteriores.

Passo 1

O enunciado dá a curva de segundo grau
x^{2}-6 b x-\bigl(1-b^{2}\bigr)\bigl(y^{2}-2 b y\bigr)+b^{4}+8 b^{2}-1=0
e pede o centro C desta hipérbole e em qual região C fica. O conteúdo envolvido é identificação de conica, cálculo do centro e análise da condição de hipérbole \Delta>0.

Passo 2

Expandindo para identificar os coeficientes da forma geral Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0:
x^2-6b\,x-(1-b^2)y^2+2b(1-b^2)y+b^4+8b^2-1=0.
Logo
A=1,\quad B=0,\quad C=-(1-b^2)=b^2-1,
D=-6b,\quad E=2b(1-b^2),\quad F=b^4+8b^2-1.

Passo 3

O centro satisfaz
\begin{cases} 2Ax+By+D=0,\\\ Bx+2Cy+E=0. \end{cases}
Substituindo:
2x-6b=0\implies x=3b,
2(b^2-1)y+2b(1-b^2)=0\implies2(b^2-1)(y-b)=0\implies y=b
(sendo b^2\neq1).

Passo 4

A condição de hipérbole é \Delta=B^2-4AC>0, ou seja
0^2-4\cdot1\cdot(b^2-1)>0\implies-4(b^2-1)>0\implies b^2<1.
Portanto b\in(-1,1) e o centro varia segundo
C=(3b,b),\quad b\in(-1,1).

Passo 5

Testamos cada região para (x,y)=(3b,b), b\in(-1,1):
A: \dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{12}<1 \tfrac{13b^2}{12}<1\iff b^2<\tfrac{12}{13}, não vale para todos b.
B: \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{2}>1 \tfrac{11b^2}{4}>1\iff b^2>\tfrac{4}{11}, falha para |b| pequeno.
C: \dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{2}<1
b^2-\tfrac{b^2}{2}<1\iff \tfrac{b^2}{2}<1\iff b^2<2,
sempre verdadeiro para |b|<1.
D: 3x^2-2y^2<1 25b^2<1\iff b^2<\tfrac1{25}, falha para |b| maior.
Logo apenas a alternativa C é satisfeita por todo C.

Resposta

C C\in\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2/9 - y^2/2<1\}.

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