Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}(x^{2}+y^{2})\,dy\,dx
convertendo antes para coordenadas polares. O conteúdo da matéria é mudança de variáveis em integrais duplas e vamos precisar de x = r\cos\theta, y = r\sin\theta e do jacobiano r.

Passo 2

Identificamos a região de integração em coordenadas cartesianas como
0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le \sqrt{1-x^{2}},
que é o quarto de disco de raio 1 no primeiro quadrante, ou seja
\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le1,\;x\ge0,\;y\ge0\}.

Passo 3

Em coordenadas polares temos
x^{2}+y^{2}=r^{2},\quad dA = dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Na região considerada, r vai de 0 a 1 e \theta vai de 0 a \tfrac{\pi}{2}. Logo a integral fica
\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{1} \bigl(r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{1} r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculamos a integral em r:
\int_{0}^{1}r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
Em seguida, integramos em \theta:
\int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{4}\,d\theta = \frac{1}{4}\,\bigl[\theta\bigr]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{4}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{8}.

Resposta

\frac{\pi}{8}

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