Usando a segunda regra composta de Simpson ( \mathrm{h}=1 ), calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o erro.
a) I=\int_{1}^{7}\left(x^{2}+8 x+10\right) d x
b) I=\int_{1}^{7}\left(x^{2}+8 x+3\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a aproximação pela regra composta de Simpson de segunda ordem (passo \mathrm{h}=1) para as integrais \displaystyle I_1=\int_{1}^{7}(x^2+8x+10)\,dx e \displaystyle I_2=\int_{1}^{7}(x^2+8x+3)\,dx,
além de calcular o valor exato e o erro em cada caso. Vamos usar a fórmula
I\approx \frac{h}{3}\bigl(f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+2f(x_4)+4f(x_5)+f(x_6)\bigr)
com x_0=1, x_6=7 e passos de largura h=1.

Passo 2

Definimos os nós
x_k = 1 + k,\quad k=0,1,\dots,6,
ou seja x_0=1, x_1=2, …, x_6=7.
Para f_1(x)=x^2+8x+10 e f_2(x)=x^2+8x+3 obtemos
\begin{aligned} &f_1(1)=19,\;f_1(2)=30,\;f_1(3)=43,\;f_1(4)=58,\;f_1(5)=75,\;f_1(6)=94,\;f_1(7)=115,\\\ &f_2(1)=12,\;f_2(2)=23,\;f_2(3)=36,\;f_2(4)=51,\;f_2(5)=68,\;f_2(6)=87,\;f_2(7)=108. \end{aligned}

Passo 3

Aplicando Simpson a I_1:
I_1\approx \frac{1}{3}\bigl(f_1(1)+4f_1(2)+2f_1(3)+4f_1(4)+2f_1(5)+4f_1(6)+f_1(7)\bigr)
=\frac{1}{3}\bigl(19+4\cdot30+2\cdot43+4\cdot58+2\cdot75+4\cdot94+115\bigr) =\frac{1098}{3}=366.

Passo 4

O valor exato é
\int_{1}^{7}(x^2+8x+10)\,dx =\Bigl[\tfrac{x^3}{3}+4x^2+10x\Bigr]_1^7 =\frac{1141}{3}-\frac{43}{3}=\frac{1098}{3}=366.
Logo o erro em I_1 é 366-366=0.

Passo 5

Aplicando Simpson a I_2:
I_2\approx \frac{1}{3}\bigl(f_2(1)+4f_2(2)+2f_2(3)+4f_2(4)+2f_2(5)+4f_2(6)+f_2(7)\bigr)
=\frac{1}{3}\bigl(12+4\cdot23+2\cdot36+4\cdot51+2\cdot68+4\cdot87+108\bigr) =\frac{972}{3}=324.

Passo 6

O valor exato é
\int_{1}^{7}(x^2+8x+3)\,dx =\Bigl[\tfrac{x^3}{3}+4x^2+3x\Bigr]_1^7 =\frac{994}{3}-\frac{22}{3}=\frac{972}{3}=324.
Logo o erro em I_2 é 324-324=0.

Resposta

a) Aproximação I_1\approx 366, exato I_1=366, erro 0.
b) Aproximação I_2\approx 324, exato I_2=324, erro 0.

Exercícios relacionados