Seja os 4 pontos dados a seguir utilizando a interpolação cúbica achar P_{3}=a_{3} x^{3}+a_{2} x^{2}+ a_{1} x+a_{0} :
a) (1 ; 1) ;(2 ;-15) ;(3 ;-47) ;(4 ;-101) ; P(1,5)=\

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos (1,1), (2,-15), (3,-47) e (4,-101)
e pede o polinômio cúbico
P_3(x)=a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0
que interpola esses pontos, e em seguida calcular P_3(1,5). Para isso usaremos sistemas lineares resultantes da condição P_3(x_i)=y_i e métodos de eliminação.

Passo 2

Impondo P_3(1)=1, P_3(2)=-15, P_3(3)=-47 e P_3(4)=-101 obtemos o sistema
\begin{cases} a_3 + a_2 + a_1 + a_0 = 1,\\\\ 8a_3 + 4a_2 + 2a_1 + a_0 = -15,\\\\ 27a_3 + 9a_2 + 3a_1 + a_0 = -47,\\\\ 64a_3 +16a_2 + 4a_1 + a_0 = -101. \end{cases}

Passo 3

Subtraindo a primeira equação da segunda, da segunda da terceira e da terceira da quarta, eliminamos a_0:
\begin{cases} 7a_3 + 3a_2 + a_1 = -16,\\\\ 19a_3 +5a_2 + a_1 = -32,\\\\ 37a_3 +7a_2 + a_1 = -54. \end{cases}

Passo 4

Agora subtraímos a primeira destas da segunda e a segunda da terceira para eliminar a_1:
\begin{cases} (19-7)a_3 + (5-3)a_2 = -32 - (-16)\;\Rightarrow\;12a_3 +2a_2 = -16,\\\ (37-19)a_3 + (7-5)a_2 = -54 - (-32)\;\Rightarrow\;18a_3 +2a_2 = -22. \end{cases}
Dividindo por 2:
\begin{cases} 6a_3 + a_2 = -8,\\\\ 9a_3 + a_2 = -11. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda dá
3a_3 = -3\quad\Rightarrow\quad a_3 = -1,
e então
6(-1)+a_2=-8\quad\Rightarrow\quad a_2=-2.

Passo 5

Voltando à equação 7a_3+3a_2+a_1=-16:
7(-1) +3(-2) + a_1 = -16\quad\Rightarrow\quad -7-6 + a_1 = -16\quad\Rightarrow\quad a_1 = -3.
Finalmente, da primeira equação do sistema original,
a_3 + a_2 + a_1 + a_0 = 1\quad\Rightarrow\quad -1 +(-2)+(-3)+a_0 =1\quad\Rightarrow\quad a_0 = 7.

Passo 6

O polinômio interpolador é
P_3(x) = -x^3 \;-\;2x^2\;-\;3x\;+\;7.

Passo 7

Para x=1,5 temos
P_3(1,5) = -(1,5)^3 -2(1,5)^2 -3(1,5) +7 = -3,375 -4,5 -4,5 +7 = -5,375.

Resposta

P(1,5) = -\frac{43}{8}\approx -5,375.

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