Determine o volume do sólido dado.
Limitado pelo cilindro
pelos planos
Limitado pelo cilindro
Passo 1
Aqui a gente quer determinar o volume do sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
. Esse é um problema de integração de volume, em que usamos projeção no plano
e cálculo de integral dupla.
Passo 2
O domínio no plano
é o disco
. Para cada ponto
em
, o plano
dá
, então
varia de
até
.
Então o volume é dado pela integral
Essa integral representa a soma das alturas
sobre cada ponto da base
.
Passo 3
Como
é um disco de raio 2, convém usar coordenadas polares:
com
e
. Substituindo na integral, fica
Passo 4
Calculamos primeiro a integral em
:
Passo 5
Agora integramos em
:
Como
, o volume final é obtido.
A conclusão é que o volume do sólido é dado por
.
Resposta
12\pi