Determine o volume do sólido dado.
Limitado pelo cilindro x^2+y^2=4 e pelos planos z=0 e y+z=3

Passo 1

Aqui a gente quer determinar o volume do sólido limitado pelo cilindro x^2+y^2=4 e pelos planos z=0 e y+z=3. Esse é um problema de integração de volume, em que usamos projeção no plano xy e cálculo de integral dupla.

Passo 2

O domínio no plano xy é o disco D=(x,y):x^2+y^2<=4. Para cada ponto (x,y) em D, o plano y+z=3 z=3-y, então z varia de 0 até 3-y.
Então o volume é dado pela integral
V=integral duplaD(3-y),dA
Essa integral representa a soma das alturas 3-y sobre cada ponto da base D.

Passo 3

Como D é um disco de raio 2, convém usar coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta,
com rin[0,2] e thetain[0,2pi]. Substituindo na integral, fica
V=integral0^2piintegral0^2l(3 - rsinthetar),r,dr,dtheta

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em r:
integral0^2(3r - r^2sintheta),dr =[3r^22 - r^33sintheta]0^2 =6 - 83sintheta

Passo 5

Agora integramos em theta:
integral0^2pil(6 - tfrac83sinthetar),dtheta =6cdot2pi - tfrac83integral0^2pisintheta,dtheta =12pi - tfrac83cdot0 =12pi
Como integral0^2pisintheta,dtheta=0, o volume final é obtido.
A conclusão é que o volume do sólido é dado por 12pi.

Resposta

12\pi

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