Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a.
integral-pi2^pi2 integral1^2 cdot cos theta r d r d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos a região cuja área é dada por uma integral dupla em coordenadas polares e, depois, calcular essa área. Para isso, vamos precisar entender como funcionam integrais duplas em coordenadas polares e como elas nos ajudam a encontrar áreas de regiões específicas no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites da integral para entender qual é a região que estamos falando. A integral é:
integral-pi2^pi2 integral1^2 cdot cos theta r , dr , dtheta
Aqui, theta varia de -pi2 a pi2, e para cada theta, r varia de 1 a 2 cdot cos theta. Isso está tudo em coordenadas polares, onde r é a distância do ponto à origem, e theta é o ângulo em relação ao eixo positivo x.

Passo 3

Vamos entender o que cada limite representa:
  • theta de -pi2 a pi2: Isso significa que estamos cobrindo todos os ângulos que vão do negativo de 90 graus até o positivo de 90 graus, ou seja, do lado inferior ao superior do eixo x. Basicamente, estamos olhando para a direita do plano cartesiano.
  • r de 1 a 2 cdot cos theta: Para cada ângulo theta, a distância r começa em 1 e vai até 2 cdot cos theta. A expressão 2 cdot cos theta descreve um círculo no plano polar. Especificamente, r = 2 cdot cos theta é a equação de um círculo com raio 1 e centro em (1, 0) no sistema cartesiano.

Passo 4

Agora, vamos esboçar a região:
  1. Desenhe o eixo polar com o ângulo theta variando de -pi2 a pi2.
  2. Desenhe o círculo dado por r = 2 cdot cos theta. Esse círculo está à direita da origem, com centro em (1, 0) e raio 1.
  3. Desenhe o círculo de raio 1 centrado na origem, que é dado por r = 1.
  4. A região de interesse está entre esses dois círculos, onde para cada theta no intervalo, r vai de 1 até 2 cdot cos theta.
Esboço da região (Imagem ilustrativa)

Passo 5

Agora que temos o esboço da região, vamos calcular a área usando a integral dada. Em coordenadas polares, a área A de uma região é dada por:
A = integralalpha^beta integralrmin^rmax r , dr , dtheta
Comparando com a integral do exercício:
A = integral-pi2^pi2 integral1^2 cdot cos theta r , dr , dtheta
Vemos que alpha = -pi2, beta = pi2, rmin = 1 e rmax = 2 cdot cos theta.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a r:
integral1^2 cdot cos theta r , dr
A antiderivada de r em relação a r é:
12 r^2
Então, avaliando de 1 a 2 cdot cos theta:
[ 12 r^2 ]1^2 cdot cos theta = 12 (2 cdot cos theta)^2 - 12 (1)^2 = 12 cdot 4 cos^2 theta - 12 = 2 cos^2 theta - 12

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
A = integral-pi2^pi2 ( 2 cos^2 theta - 12 ) dtheta
Vamos separar essa integral em duas partes:
A = 2 integral-pi2^pi2 cos^2 theta , dtheta - 12 integral-pi2^pi2 dtheta

Passo 8

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeiro, para integral cos^2 theta , dtheta, usamos a identidade trigonométrica:
cos^2 theta = 1 + cos 2theta2
Então:
integral cos^2 theta , dtheta = integral 1 + cos 2theta2 , dtheta = 12 integral 1 , dtheta + 12 integral cos 2theta , dtheta
Calculando cada parte:
12 integral 1 , dtheta = 12 theta
12 integral cos 2theta , dtheta = 14 sin 2theta
Portanto:
integral cos^2 theta , dtheta = 12 theta + 14 sin 2theta + C

Passo 9

Agora, avaliamos a primeira integral de -pi2 a pi2:
2 [ 12 theta + 14 sin 2theta ]-pi2^pi2 = 2 ( ( 12 cdot pi2 + 14 sin pi ) - ( 12 cdot ( -pi2 ) + 14 sin (-pi) ) )
Simplificando:
2 ( pi4 + 0 - ( -pi4 + 0 ) ) = 2 ( pi4 + pi4 ) = 2 cdot pi2 = pi
Agora, a segunda integral:
- 12 integral-pi2^pi2 dtheta = -12 [ theta ]-pi2^pi2 = -12 ( pi2 - ( -pi2 ) ) = -12 cdot pi = -pi2

Passo 10

Somando as duas partes:
A = pi - pi2 = pi2

Resposta

A área da região descrita pela integral é pi2 unidades de área.

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