Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos a região cuja área é dada por uma integral dupla em coordenadas polares e, depois, calcular essa área. Para isso, vamos precisar entender como funcionam integrais duplas em coordenadas polares e como elas nos ajudam a encontrar áreas de regiões específicas no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites da integral para entender qual é a região que estamos falando. A integral é:
Aqui,
varia de
a
, e para cada
,
varia de
a
. Isso está tudo em coordenadas polares, onde
é a distância do ponto à origem, e
é o ângulo em relação ao eixo positivo
.
Passo 3
Vamos entender o que cada limite representa:
-
de a : Isso significa que estamos cobrindo todos os ângulos que vão do negativo de 90 graus até o positivo de 90 graus, ou seja, do lado inferior ao superior do eixo . Basicamente, estamos olhando para a direita do plano cartesiano. -
de a : Para cada ângulo , a distância começa em e vai até . A expressão descreve um círculo no plano polar. Especificamente, é a equação de um círculo com raio e centro em no sistema cartesiano.
Passo 4
Agora, vamos esboçar a região:
- Desenhe o eixo polar com o ângulo
variando de a . - Desenhe o círculo dado por
. Esse círculo está à direita da origem, com centro em e raio . - Desenhe o círculo de raio
centrado na origem, que é dado por . - A região de interesse está entre esses dois círculos, onde para cada
no intervalo, vai de até .

Passo 5
Agora que temos o esboço da região, vamos calcular a área usando a integral dada. Em coordenadas polares, a área
de uma região é dada por:
Comparando com a integral do exercício:
Vemos que
,
,
e
.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
A antiderivada de
em relação a
é:
Então, avaliando de
a
:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos separar essa integral em duas partes:
Passo 8
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeiro, para
, usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Calculando cada parte:
Portanto:
Passo 9
Agora, avaliamos a primeira integral de
a
:
Simplificando:
Agora, a segunda integral:
Passo 10
Somando as duas partes:
Resposta
A área da região descrita pela integral é
unidades de área.