Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região cuja área é dada por essa integral em coordenadas polares:
Então, vamos precisar entender coordenadas polares, como interpretar os limites de integração para $ r $ e $ \theta $, e depois calcular essa área usando a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares. Em vez de usar $ x $ e $ y $, a gente usa um ângulo $ \theta $ e uma distância $ r $ do ponto até a origem. Isso é super útil para regiões circulares ou setores de círculos.
Passo 3
A integral que temos está dividida em duas partes: o intervalo para $ \theta $ vai de $ \frac{\pi}{2} $ a $ \frac{3\pi}{4} $, e para $ r $, de 1 a 2. Isso significa que estamos olhando para um setor de anel: o ângulo varia entre esses valores e o raio está entre 1 e 2.
Passo 4
Vamos desenhar isso! Imagine um círculo com raio 2 e outro com raio 1, ambos centrados na origem. O setor começa no ângulo $ \frac{\pi}{2} $ (90 graus) e vai até $ \frac{3\pi}{4} $ (135 graus). A região fica entre esses dois círculos e entre esses dois ângulos.
Passo 5
Agora, para calcular a área dessa região, usamos a integral dada. Em coordenadas polares, a área $ A $ é calculada assim:
Onde:
- $ \theta_1 = \frac{\pi}{2} $
- $ \theta_2 = \frac{3\pi}{4} $
- $ r_1 = 1 $
- $ r_2 = 2 $
Passo 6
Vamos integrar em relação a $ r $ primeiro:
Passo 7
Agora, vamos integrar esse resultado em relação a $ \theta $:
Simplificando o intervalo de $ \theta $:
Passo 8
Multiplicando pelo fator $ \frac{3}{2} $:
Resposta
A área da região é $ \frac{3\pi}{8} $ unidades de área.