Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a.
integralpi2^3 pi4 integral1^2 r d r d theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região cuja área é dada por essa integral em coordenadas polares:
integralpi2^3 pi4 integral1^2 r , dr , dtheta
Então, vamos precisar entender coordenadas polares, como interpretar os limites de integração para $ r $ e $ \theta $, e depois calcular essa área usando a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares. Em vez de usar $ x $ e $ y $, a gente usa um ângulo $ \theta $ e uma distância $ r $ do ponto até a origem. Isso é super útil para regiões circulares ou setores de círculos.

Passo 3

A integral que temos está dividida em duas partes: o intervalo para $ \theta $ vai de $ \frac{\pi}{2} $ a $ \frac{3\pi}{4} $, e para $ r $, de 1 a 2. Isso significa que estamos olhando para um setor de anel: o ângulo varia entre esses valores e o raio está entre 1 e 2.

Passo 4

Vamos desenhar isso! Imagine um círculo com raio 2 e outro com raio 1, ambos centrados na origem. O setor começa no ângulo $ \frac{\pi}{2} $ (90 graus) e vai até $ \frac{3\pi}{4} $ (135 graus). A região fica entre esses dois círculos e entre esses dois ângulos.

Passo 5

Agora, para calcular a área dessa região, usamos a integral dada. Em coordenadas polares, a área $ A $ é calculada assim:
A
Onde:
  • $ \theta_1 = \frac{\pi}{2} $
  • $ \theta_2 = \frac{3\pi}{4} $
  • $ r_1 = 1 $
  • $ r_2 = 2 $

Passo 6

Vamos integrar em relação a $ r $ primeiro:
r

Passo 7

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a $ \theta $:
theta
Simplificando o intervalo de $ \theta $:
A = integralpi2^3pi4 32 , dtheta = 32 [ theta ]pi2^3pi4 = 32 ( 3pi4 - pi2 )

Passo 8

Multiplicando pelo fator $ \frac{3}{2} $:
32

Resposta

A área da região é $ \frac{3\pi}{8} $ unidades de área.

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