• 4-Sejam X sim Geometrica (p) e Y sim Exponencial (lambda) para p in(0,1) e lambda>0.
    a) Mostre que
Mx(t)=p e^t1-(1-p) e^t,
para t<-ln (1-p).
b) Mostre que
MY(t)=lambdalambda-t,
para t.
c) Faça p=lambda / n e Xn=X / n e mostre que MXn(t) MY(t).
d) Calcule
P(Xn>t)
para mostrar que e compare com o resultado do item anterior.

Passo 1

Temos uma variável aleatória X com distribuição geométrica de parâmetro p (isto é, P(X=k)=p(1-p)^{k-1} para k=1,2,…) e uma variável Y com distribuição exponencial de parâmetro λ (densidade f_Y(y)=λe^{-λy} para y>0). Precisa calcular as funções geradoras de momentos (MGF) M_X(t) e M_Y(t), mostrar que, ao tomar p=λ/n e X_n=X/n, M_{X_n}(t)→M_Y(t), e por fim verificar a convergência de P(X_n>t).

Passo 2

Para achar M_X(t)=E[e^{tX}], escrevemos a soma sobre k:
MX(t)=sumk=1^inftye^tk,p,(1-p)^k-1
Note que e{tk}=et,(et){k-1}, então temos uma série geométrica de razão r=(1-p)e^t. Essa série converge se |r|<1, i.e. e^t(1-p)<1, ou seja t< -\ln(1-p). Assim:
MX(t)=p,e^tsumj=0^inftyl((1-p)e^tr)^j=p,e^t1-(1-p)e^t, t< -ln(1-p)

Passo 3

Para M_Y(t)=E[e^{tY}] usamos a integral:
MY(t)=integral0^inftye^ty,lambda e^-lambda y,dy=lambdaintegral0^inftye^-(lambda-t)y,dy,
que converge se λ-t>0 (ou t<λ). Como integral0^inftye^-a ydy=1/a, obtemos
MY(t)=lambdalambda-t, t

Passo 4

Agora, ponha p=λ/n e X_n=X/n. Então
MXn(t)=E[e^tXn]=MXl(t/nr)=(lambda/n)e^t/n1-(1-lambda/n)e^t/n
Para n→∞ usamos e^{t/n}=1+t/n+o(1/n). O numerador é (lambda/n)(1+o(1)) e o denominador é
1-(1-lambda/n)(1+t/n+o(1/n))=(lambda-t)/n+o(1/n)
Logo o quociente tende a
lambda/n(lambda-t)/n=lambdalambda-t=MY(t)

Passo 5

Para a cauda, P(X_n>t)=P(X>nt). Como P(X>k)=(1-p)^k e p=λ/n, temos
P(Xn>t)=(1-lambda/n)^ntto e^-lambda t,
o que coincide com P(Y>t)=e^{-\lambda t} da exponencial, confirmando também a convergência em distribuição.

Resposta

(a) M_X(t)=\dfrac{p et}{1-(1-p)et}, t< -\ln(1-p). (b) M_Y(t)=\dfrac{\lambda}{\lambda-t}, t<\lambda. © M_{X_n}(t)\to M_Y(t)=\lambda/(\lambda-t). (d) P(X_n>t)=(1-\lambda/n)^{nt}\to e^{-\lambda t}, consistente com a cauda exponencial.

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