- 4-Sejam
Geometrica
e
Exponencial
para
e
.
a) Mostre que
para
.
b) Mostre que
para
.
c) Faça
e
e mostre que
.
d) Calcule
para mostrar que
e compare com o resultado do item anterior.
a) Mostre que
b) Mostre que
c) Faça
d) Calcule
Passo 1
Temos uma variável aleatória X com distribuição geométrica de parâmetro p (isto é, P(X=k)=p(1-p)^{k-1} para k=1,2,…) e uma variável Y com distribuição exponencial de parâmetro λ (densidade f_Y(y)=λe^{-λy} para y>0). Precisa calcular as funções geradoras de momentos (MGF) M_X(t) e M_Y(t), mostrar que, ao tomar p=λ/n e X_n=X/n, M_{X_n}(t)→M_Y(t), e por fim verificar a convergência de P(X_n>t).
Passo 2
Para achar M_X(t)=E[e^{tX}], escrevemos a soma sobre k:
Note que e{tk}=et,(et){k-1}, então temos uma série geométrica de razão r=(1-p)e^t. Essa série converge se |r|<1, i.e. e^t(1-p)<1, ou seja t< -\ln(1-p). Assim:
Passo 3
Para M_Y(t)=E[e^{tY}] usamos a integral:
que converge se λ-t>0 (ou t<λ). Como
, obtemos
Passo 4
Agora, ponha p=λ/n e X_n=X/n. Então
Para n→∞ usamos e^{t/n}=1+t/n+o(1/n). O numerador é
e o denominador é
Logo o quociente tende a
Passo 5
Para a cauda, P(X_n>t)=P(X>nt). Como P(X>k)=(1-p)^k e p=λ/n, temos
o que coincide com P(Y>t)=e^{-\lambda t} da exponencial, confirmando também a convergência em distribuição.
Resposta
(a) M_X(t)=\dfrac{p et}{1-(1-p)et}, t< -\ln(1-p). (b) M_Y(t)=\dfrac{\lambda}{\lambda-t}, t<\lambda. © M_{X_n}(t)\to M_Y(t)=\lambda/(\lambda-t). (d) P(X_n>t)=(1-\lambda/n)^{nt}\to e^{-\lambda t}, consistente com a cauda exponencial.